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Totale Differenziale

Differenziale erster Ordnung

Im Vorangegangenen (siehe Empfehlung Grundbegriffe der partiellen Ableitungen) betrachteten wir die Änderung der Funrundbegriffe der partiellen Ableitungenktion $z = f (x, y)$ , wenn eine unabhängige Variable geändert und die andere festgehalten wurde. Daraus folgten die partiellen Ableitungen $f_{x}$ und $f_{y}$ . Nun untersuchen wir den Fall, wenn beide unabhängige Variablen gleichzeitig geändert werden.

Ist $z = f (x, y)$ eine im Punkt P $(x, y)$ differenzierbare Funktion, so existiert eine Tangentialebene an der Stelle $(x, y)$ . Wenn $x$ um $Δ x$ und $y$ um $Δ y$ geändert wird, dann ändert sich $z$ um $Δ z$ , also

Δ z = f (x + Δ x, y + Δ y) - f (x, y) .

Da der Punkt Q $(x + Δ x, y + Δ y)$ auf der Fläche $z = f (x, y)$ liegt, ist $Δ z$ der Zuwachs auf der Fläche. Siehe (Abb. 1) Abbildung.

Abb.1: Der Zuwachs auf der Fläche

Entsprechend lautet der Zuwachs auf der Tangentialebene

d z = f_{x} d x + f_{y} d y

Der Punkt $(x + d x, y + d y, z + d z)$ liegt auf der Tangentialebene und i.Allg. nicht auf der Fläche selbst. Man nennt $d z$ das totale oder exakte Differenzial der Funktion $z = f (x, y)$ .

Theorem: Besitzt die Funktion $z = f (x, y)$ stetige partielle Ableitungen erster Ordnung im Bereich $R$ , dann ist; wobei $ɛ_{1} \to 0$ , $ɛ_{2} \to 0$ für $Δ x \to 0$ , $Δ y \to 0$ . Wenn $Δ x$ und $Δ y$ klein sind, dann ist $Δ z \approx d z$ .