Totale Differenziale
Differenziale erster Ordnung
Im Vorangegangenen (siehe Empfehlung Grundbegriffe der partiellen Ableitungen) betrachteten wir die Änderung der Funrundbegriffe der partiellen Ableitungenktion , wenn eine unabhängige Variable geändert und die andere festgehalten wurde. Daraus folgten die partiellen Ableitungen und . Nun untersuchen wir den Fall, wenn beide unabhängige Variablen gleichzeitig geändert werden.
Ist eine im Punkt P differenzierbare Funktion, so existiert eine Tangentialebene an der Stelle . Wenn um und um geändert wird, dann ändert sich um , also
Da der Punkt Q auf der Fläche liegt, ist der Zuwachs auf der Fläche. Siehe (Abb. 1) Abbildung.
Entsprechend lautet der Zuwachs auf der Tangentialebene
Der Punkt liegt auf der Tangentialebene und i.Allg. nicht auf der Fläche selbst. Man nennt das totale oder exakte Differenzial der Funktion .
- Theorem
- Besitzt die Funktion stetige partielle Ableitungen erster Ordnung im Bereich , dann ist
- wobei , für , . Wenn und klein sind, dann ist .
- Beispiel
Gegeben sei die Funktion . Das totale Differenzial ist gegegeben durch
Wenn um und um geändert wird, dann erhält man
Der entsprechende Zuwachs auf der Fläche lautet
Für , klein gilt
und so ist .
Funktionen von Variablen
Das totale Differenzial für eine Funktion von unabhängigen Variablen lässt sich auch definieren:
Dieser Ausdruck gilt auch, wenn die Variablen voneinander abhängig sind.