zum Directory-modus

Partielle Ableitungen höherer Ordnung

Partielle Ableitungen höherer Ordnung

Die partiellen Ableitungen f x und f y sind im allgemeinen Fall Funktionen von x und y , sodass sich auch partielle Ableitungen höherer Ordnung bilden lassen. Die folgenden partiellen Ableitungen zweiter Ordnung sind möglich:

f x x = f x x y = 2 f x 2 f x y = f x y x = 2 f x y f y x = f y x y = 2 f y x f y y = f y y x = 2 f y 2 .

Das Symbol f x y bedeutet, dass die Funktion f zunächst nach der Variablen x und anschließend nach der Variablen y partiell differenziert worden ist. Auf eine ähnliche Weise bildet man partielle Ableitungen höherer Ordnung, z.B.

f x y y = 3 f x y 2 ,

wobei f x y y die partielle Ableitung dritter Ordnung der Funktion f einmal nach x und zweimal nach y ist.

Partielle Ableitungen, die durch mehrmaliges Differenzieren nach ein und derselben Variablen gebildet werden, heißen reine Ableitungen, z.B. f y y , f x x x . Alle übrigen werden als gemischte Ableitungen bezeichnet, z.B. f x x y , f y x .

Satz von Schwarz

Bei gemischten partiellen Ableitungen ist zu beachten, dass die Reihenfolge der Differenziation unstetiger Funktionen bedeutend ist, z.B. sind f x y und f y x nicht immer gleich.

Theorem
Sind die partiellen Ableitungen n -ter Ordnung ( n 2 ) einer Funktion stetig in einem Bereich R , so ist die Reihenfolge der Differenziationen vertauschbar.

Besitzt z.B. die Funktion f ( x , y ) stetige partielle Ableitungen bis zur dritten Ordnung, so kann man schreiben

f x y z = f x z y = f y x z = f y z x = f z x y = f z y x .
Beispiel

f ( x , y ) = x 2 - 2 x y - 3 y 2 besitzt folgende partielle Ableitungen:

f x = 2 ( x - y ) f y = - 2 ( x + 3 y ) f x x = 2 f x y = - 2 f y x = - 2 f y y = - 6.

Da f x y und f y x stetige Funktionen sind, sind die Bedingungen des Schwarz´schen Satzes erfüllt, d.h. f x y = f y x .

<Seite 1 von 1>