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Partielle Differenziation

Geometrische Deutung der partiellen Ableitung

Die Funktion z = f ( x , y ) wird im 3-dimensionalen Raum durch eine Fläche dargestellt. Setzt man y = y 0 , wobei y 0 konstant ist, so definiert u = f ( x , y 0 ) = u ( x ) eine Kurve, die auf der Fläche z = f ( x , y ) verläuft. Die partielle Ableitung f x ( x 0 , y 0 ) nach der Variable x an der Stelle ( x 0 , y 0 ) bedeutet die Steigung der Tangente T 1 an die Flächenkurve u = u ( x ) im Raumpunkt mit den Koordinaten ( x 0 , y 0 , z 0 ) . Entsprechend gibt f y ( x 0 , y 0 ) die Steigung der Tangente T 2 an die Flächenkurve v = f ( x 0 , y ) = v ( y ) im Raumpunkt ( x 0 , y 0 , z 0 ) an.

Abb.1

Die partielle Ableitungen f x bzw. f y geben die Steigungen der Tangenten T 1 bzw. T 2 im Punkt P an

Die Tangentialebene

Wenn alle Tangenten, die im Raumpunkt ( x 0 , y 0 , z 0 ) die Fläche z = f ( x , y ) tangieren, in einer gemeinsamen Ebene liegen, dann ist die Funktion f ( x , y ) an der Stelle ( x 0 , y 0 ) differenzierbar und man bezeichnet diese Ebene als die Tangentialebene. Die Fläche besitzt eine Tangentialebene an der Stelle ( x 0 , y 0 ) , wenn f x und f y in ( x 0 , y 0 ) stetig sind.

Die Existenz einer Tangentialebene ist also der geometrische Ausdruck für die Differenzierbarkeit einer Funktion z = f ( x , y ) an der Stelle ( x 0 , y 0 ) und umgekehrt.

Theorem
Wenn eine Funktion z = f ( x , y ) im Punkt ( x 0 , y 0 ) stetige partielle Ableitungen erster Ordnung besitzt, dann ist f ( x , y ) an dieser Stelle differenzierbar und die zugeordnete Fläche besitzt eine Tangentialebene im Punkt ( x 0 , y 0 , z 0 ) .
Abb.2

Die Tangenten T 1 und T 2 liegen in der Tangentialebene der Fläche z = f ( x , y ) im Punkt P = ( x 0 , y 0 , z 0 ) und N ist der Normalenvektor

Beispiel

Sei z = f ( x , y ) gegeben durch:

f ( x , y ) = x y x 2 + y 2 ( x , y ) ( 0 , 0 ) 0 ( x , y ) = ( 0 , 0 ) .

Obwohl die partiellen Ableitungen f x und f y an der Stelle ( x 0 , y 0 ) = ( 0 , 0 ) existieren, sind sie jedoch unstetig dort und es gibt keine Tangentialebene an dieser Stelle.

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