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Partielle Differenziation

Differenzierbarkeit einer Funktion mehrerer Veränderlicher

Differenzierbarkeit einer Funktion zweier Veränderlicher
Eine Funktion f ( x , y ) heißt differenzierbar an der Stelle ( x 0 , y 0 ) , wenn sie sich in der Umgebung dieser Stelle durch die Funktion
f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) = f ( x 0 , y 0 ) + Δ x f x ( x 0 , y 0 ) + Δ y f y ( x 0 , y 0 ) + ɛ 1 ( Δ x , Δ y ) + ɛ 2 ( Δ x , Δ y )
darstellen lässt, wobei ɛ 1 0 , ɛ 2 0 für Δ x 0 , Δ y 0 .

Aus der Definition folgt, dass die Funktion f ( x , y ) auch stetig an der Stelle ( x 0 , y 0 ) ist. Wenn eine Funktion z = f ( x , y ) stetige partielle Ableitungen erster Ordnung f x und f y in einem Bereich R besitzt, ist f in diesem Bereich stetig. Die Umkehrung dieser Aussage, wonach stetige Funktionen immer stetige partielle Ableitungen besitzen würden, gilt dagegen nicht.

Woran erkennt man, ob eine Funktion f ( x , y ) an der Stelle ( x 0 , y 0 ) differenzierbar ist?

Theorem
Besitzt eine Funktion z = f ( x , y ) an der Stelle ( x 0 , y 0 ) stetige partielle Ableitungen erster Ordnung, so ist f ( x , y ) an dieser Stelle differenzierbar.

Existenz von partiellen Ableitungen

Aus der Tatsache, dass die partiellen Ableitungen erster Ordnung f x und f y an einer Stelle ( x 0 , y 0 ) existieren, folgt nicht automatisch, dass die Funktion z = f ( x , y ) stetig an der Stelle ( x 0 , y 0 ) ist. Dies steht im Gegensatz zum Fall der Ableitungen von Funktionen einer Variablen.

Beispiel

Die folgende Funktion besitzt keinen Grenzwert im Punkt ( x 0 , y 0 ) = ( 0 , 0 ) :

f ( x , y ) = x y x 2 + y 2 ( x , y ) ( 0 , 0 ) 0 ( x , y ) = ( 0 , 0 ) .

Der Funktionswert ist zwar im Punkt ( x 0 , y 0 ) = ( 0 , 0 ) definiert, aber der Grenzwert ist vom Weg abhängig. Für x 0 , y 0 entlang der Geraden y = m x in der x , y -Ebene ist

lim x , y 0 f ( x , y ) = lim x 0 m x 2 x 2 + m 2 x 2 = m 1 + m 2 .

Jedoch existieren die partiellen Ableitungen erster Ordnung f x und f y an dieser Stelle. Direkt aus den Definitionen folgen:

f x ( 0 , 0 ) = lim Δ x 0 f ( Δ x , 0 ) - f ( 0 , 0 ) Δ x = 0 - 0 Δ x = 0 f y ( 0 , 0 ) = lim Δ y 0 f ( 0 , Δ y ) - f ( 0 , 0 ) Δ y = 0 - 0 Δ y = 0.

Nach dem üblichen Verfahren sind die partiellen Ableitungen gegeben durch

f x = y 3 - x 2 y x 2 + y 2 2 f y = x 3 - x y 2 x 2 + y 2 2 .

Setzt man x = 0 , y = 0 , so sind f x ( 0 , 0 ) und f y ( 0 , 0 ) nicht definiert, weil f x und f y unstetig an der Stelle ( 0 , 0 ) sind:

f x ( 0 , 0 ) = y 3 - x 2 y x 2 + y 2 2 ( 0 , 0 ) = 0 0 f y ( 0 , 0 ) = x 3 - x y 2 x 2 + y 2 2 ( 0 , 0 ) = 0 0
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