Beispiele für die Bildung der partiellen Ableitungen

Beispiel

Man berechne die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktion $\mathit{f}(\mathit{x},\mathit{y})={\mathit{x}}^2-2\mathit{x}\mathit{y}-3{\mathit{y}}^2$. Aus der Definition von ${\mathit{f}}_{\mathit{x}}$ folgt

$$\begin{array}{rcl}{\mathit{f}}_{\mathit{x}}& =& \underset{\Delta \mathit{x}\to 0}{lim}\frac{\mathit{f}(\mathit{x}+\Delta \mathit{x},\mathit{y})-\mathit{f}(\mathit{x},\mathit{y})}{\Delta \mathit{x}}\\ & =& \underset{\Delta \mathit{x}\to 0}{lim}\frac{[(\mathit{x}+\Delta \mathit{x}{)}^2-2(\mathit{x}+\Delta \mathit{x})\mathit{y}-3{\mathit{y}}^2]-[{\mathit{x}}^2-2\mathit{x}\mathit{y}-3{\mathit{y}}^2]}{\Delta \mathit{x}}\\ & =& \underset{\Delta \mathit{x}\to 0}{lim}\frac{2(\mathit{x}-\mathit{y})\Delta \mathit{x}+(\Delta \mathit{x}{)}^2}{\Delta \mathit{x}}\\ & =& 2(\mathit{x}-\mathit{y})\end{array}$$

und aus der Definition von ${\mathit{f}}_{\mathit{y}}$ folgt ähnlicherweise

$$\begin{array}{rcl}{\mathit{f}}_{\mathit{y}}& =& \underset{\Delta \mathit{y}\to 0}{lim}\frac{\mathit{f}(\mathit{x},\mathit{y}+\Delta \mathit{y})-\mathit{f}(\mathit{x},\mathit{y})}{\Delta \mathit{y}}\\ & =& \underset{\Delta \mathit{y}\to 0}{lim}\frac{[{\mathit{x}}^2-2\mathit{x}(\mathit{y}+\Delta \mathit{y})-3(\mathit{y}+\Delta \mathit{y}{)}^2]-[{\mathit{x}}^2-2\mathit{x}\mathit{y}-3{\mathit{y}}^2]}{\Delta \mathit{y}}\\ & =& \underset{\Delta \mathit{y}\to 0}{lim}\frac{-2(\mathit{x}+3\mathit{y})\Delta \mathit{y}-3(\Delta \mathit{y}{)}^2}{\Delta \mathit{y}}\\ & =& -2(\mathit{x}+3\mathit{y}).\end{array}$$

Diese partiellen Ableitungen lassen sich auch direkt nach dem üblichen Verfahren für die Differenziation von Funktionen einer Variablen berechnen, indem man $\mathit{y}$ bzw. $\mathit{x}$ als Konstante behandelt:

$$\begin{array}{ll}& {\mathit{f}}_{\mathit{x}}=2\mathit{x}-2\mathit{y}=2(\mathit{x}-\mathit{y})\\ & {\mathit{f}}_{\mathit{y}}=-2\mathit{x}-6\mathit{y}=-2(\mathit{x}+3\mathit{y})\end{array}$$

und sie stimmen mit den vorangegangenen Ergebnissen überein. Man beachte, dass dieses zweite Verfahren nur gilt, wenn ${\mathit{f}}_{\mathit{x}}$ und ${\mathit{f}}_{\mathit{y}}$ stetig im Punkt $(\mathit{x},\mathit{y})$ sind.

Beispiel

Man berechne die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktion $\mathit{z}=\mathit{f}(\mathit{x},\mathit{y})=ln\mathit{x}\mathit{y}+\mathit{y}(\mathit{x}\mathit{y}+\mathit{x}{)}^{1/2}$. Man schreibt $\mathit{z}$ auch als

$$\mathit{z}=ln\mathit{x}+ln\mathit{y}+{\mathit{x}}^{1/2}({\mathit{y}}^3+{\mathit{y}}^2{)}^{1/2}.$$

Die partiellen Ableitungen sind nach den üblichen Verfahren dann:

$$\begin{array}{ll}& {\mathit{z}}_{\mathit{x}}=\frac{1}{\mathit{x}}+\frac{{\left({\mathit{y}}^3+{\mathit{y}}^2\right)}^{1/2}}{2{\mathit{x}}^{1/2}}=\frac{1}{\mathit{x}}+\frac{\mathit{y}}{2}{\left(\frac{\mathit{y}+1}{\mathit{x}}\right)}^{1/2}\\ & {\mathit{z}}_{\mathit{y}}=\frac{1}{\mathit{y}}+\frac{{\mathit{x}}^{1/2}\left(3{\mathit{y}}^2+2\mathit{y}\right)}{2({\mathit{y}}^3+{\mathit{y}}^2{)}^{1/2}}=\frac{1}{\mathit{y}}+\frac{3\mathit{y}+2}{2}{\left(\frac{\mathit{x}}{\mathit{y}+1}\right)}^{1/2}\\ \text{ .}\end{array}$$