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Partielle Differenziation

Beispiele für die Bildung der partiellen Ableitungen

Beispiel

Man berechne die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktion f ( x , y ) = x 2 - 2 x y - 3 y 2 . Aus der Definition von f x folgt

f x = lim Δ x 0 f ( x + Δ x , y ) - f ( x , y ) Δ x = lim Δ x 0 [ ( x + Δ x ) 2 - 2 ( x + Δ x ) y - 3 y 2 ] - [ x 2 - 2 x y - 3 y 2 ] Δ x = lim Δ x 0 2 ( x - y ) Δ x + ( Δ x ) 2 Δ x = 2 ( x - y )

und aus der Definition von f y folgt ähnlicherweise

f y = lim Δ y 0 f ( x , y + Δ y ) - f ( x , y ) Δ y = lim Δ y 0 [ x 2 - 2 x ( y + Δ y ) - 3 ( y + Δ y ) 2 ] - [ x 2 - 2 x y - 3 y 2 ] Δ y = lim Δ y 0 - 2 ( x + 3 y ) Δ y - 3 ( Δ y ) 2 Δ y = - 2 ( x + 3 y ) .

Diese partiellen Ableitungen lassen sich auch direkt nach dem üblichen Verfahren für die Differenziation von Funktionen einer Variablen berechnen, indem man y bzw. x als Konstante behandelt:

f x = 2 x - 2 y = 2 ( x - y ) f y = - 2 x - 6 y = - 2 ( x + 3 y )

und sie stimmen mit den vorangegangenen Ergebnissen überein. Man beachte, dass dieses zweite Verfahren nur gilt, wenn f x und f y stetig im Punkt ( x , y ) sind.

Beispiel

Man berechne die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktion z = f ( x , y ) = ln x y + y ( x y + x ) 1 / 2 . Man schreibt z auch als

z = ln x + ln y + x 1 / 2 ( y 3 + y 2 ) 1 / 2 .

Die partiellen Ableitungen sind nach den üblichen Verfahren dann:

z x = 1 x + y 3 + y 2 1 / 2 2 x 1 / 2 = 1 x + y 2 y + 1 x 1 / 2 z y = 1 y + x 1 / 2 3 y 2 + 2 y 2 ( y 3 + y 2 ) 1 / 2 = 1 y + 3 y + 2 2 x y + 1 1 / 2   .
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