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Partielle Differenziation

Grundbegriffe der partiellen Ableitungen

Sei eine eindeutige Funktion zweier reeller, voneinander unabhängiger Variabler x und y gegeben durch

z = f ( x , y ) ,

wobei z die abhängige Variable und f die Funktion ist. Man beachte, dass z = z ( x , y ) auch eine übliche Notation ist. Die partielle Ableitung erster Ordnung der Funktion f nach der Variable x an der Stelle ( x , y ) ist definiert durch

f x y = lim Δ x 0 f ( x + Δ x , y ) - f ( x , y ) Δ x ,

wenn dieser Grenzwert existiert. Der Index y deutet hier an, dass y konstant ist. Die partielle Ableitung wird nach denselben Gesetzmäßigkeiten wie die gewöhnliche Differenziation von Funktionen einer Variablen gebildet, indem y als Konstante behandelt wird. Die partielle Ableitung von f nach y an der Stelle ( x , y ) ist analog definiert durch

f y x = lim Δ y 0 f ( x , y + Δ y ) - f ( x , y ) Δ y ,

wobei x festgehalten wird. Die folgenden Symbole für partielle Ableitungen sind üblich

f x ( x , y ) = z x ( x , y ) = f x y = z x y
f y ( x , y ) = z y ( x , y ) = f y x = z y x .

Für partielle Ableitungen, die in einem bestimmten Punkt ( x 0 , y 0 ) ausgewertet sind, ist die folgende Notierung üblich:

f x ( x 0 , y 0 ) = f x ( x 0 , y 0 ) f y ( x 0 , y 0 ) = f y ( x 0 , y 0 ) .

Graphische Darstellung

Für eine Funktion y = f ( x ) von einer Variablen ergibt die erste Ableitung f ' ( x 0 ) nach x die Steigung der Kurventangente im Punkt P = ( x 0 , y 0 ) . Für eine Funktion z = f ( x , y ) zweier Variablen gibt es unendlich viele Schnittebenen im Punkt P = ( x 0 , y 0 , z 0 ) , die zur x , y -Ebene orthogonal sind und deren Schnittlinien auf der Fläche z = f ( x , y ) verlaufen. In diesem Fall nimmt man die Schnittlinien, die entstehen, wenn man die Fläche parallel zur xz- bzw. yz-Ebene schneidet. Daraus ergeben sich zwei orthogonale Kurventangenten T 1 bzw. T 2 im Punkt P = ( x 0 , y 0 , z 0 ) .

Abb.1

Es müssen zwei Tangenten T 1 bzw. T 2 für die Ebenen x = x 0 bzw. y = y 0 angelegt werden

Die partiellen Ableitungen f x ( x 0 , y 0 ) bzw. f y ( x 0 , y 0 ) der Funktion z = f ( x , y ) im Punkt P = ( x 0 , y 0 , z 0 ) lassen sich als die Steigungen der Kurventangenten T 1 bzw. T 2 interpretieren.

Abb.2

Die partiellen Ableitungen f x bzw. f y geben die Steigungen der Tangenten T 1 bzw. T 2 im Punkt P an.

Funktionen von N Variablen

Die Definitionen und lassen sich für Funktionen von N Variablen verallgemeinern. Sei eine Funktion von N unabhängigen Variablen x 1 , x 2 , , x N gegeben durch

z = f ( x 1 , x 2 , , x N ) .

Die partielle Ableitung erster Ordnung der Funktion f nach der Variable x n an der Stelle ( x 1 , x 2 , , x N ) ist definiert durch

z x n x m n = lim Δ x n 0 f ( x 1 , , x n + Δ x n , , x N ) - f ( x 1 , x 2 , , x N ) Δ x n ,

wobei alle anderen Veränderlichen x m n festgehalten werden.

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