Partielle Ableitungen - Einleitung

Volumen $\mathit{V}$, Druck $\mathit{p}$ und Temperatur $\mathit{T}$ eines Mols eines idealen Gases erfüllen die Bedingung

$$\mathit{p}\mathit{V}=\mathit{R}\mathit{T},\mathit{R}=\mathrm{8,314}\cdot {10}^{-2}\text{L}\text{bar}{\text{K}}^{-1}{\text{mol}}^{-1}.$$

Schreiben wir die Gleichung in der Form

$$\mathit{V}=\frac{\mathit{R}\mathit{T}}{\mathit{p}},$$

so stellen $\mathit{T}$ und $\mathit{p}$ die unabhängigen Variablen, $\mathit{V}$ die abhängige Variable dar. Mathematisch gesehen liegt eine Funktion $\mathit{z}=\mathit{f}(\mathit{x},\mathit{y})$ von zwei Variablen $\mathit{x}$ und $\mathit{y}$ vor. Wir fragen uns nun, wie sich $\mathit{V}$ ändert, wenn sich die unabhängigen Variablen geringfügig ändern:

Wir können die Ergebnisse der Punkte 2 -4 auch anders formulieren, indem wir mit $\Delta \mathit{V}/\Delta \mathit{T}$ bzw. $\Delta \mathit{V}/\Delta \mathit{p}$ erweitern:

2. $\mathit{T}$-Änderung, $\mathit{p}$ konstant:

$$\begin{array}{rcl}\Delta \mathit{V}& =& {\left(\frac{\Delta \mathit{V}}{\Delta \mathit{T}}\right)}_{\mathit{p}}\cdot \Delta \mathit{T}=\left(\frac{\mathrm{0,2494}\text{L}{\text{mol}}^{-1}}{3.000\text{K}}\right)\cdot 3.000\text{K}\\ & =& (\mathrm{0,08314}\text{L}{\text{mol}}^{-1}{\text{K}}^{-1})\cdot 3.000\text{K}.\end{array}$$

3. $\mathit{p}$-Änderung, $\mathit{T}$ konstant:

$$\begin{array}{rcl}\Delta \mathit{V}& =& {\left(\frac{\Delta \mathit{V}}{\Delta \mathit{p}}\right)}_{\mathit{T}}\cdot \Delta \mathit{p}=\left(\frac{-\mathrm{0,2714}\text{L}{\text{mol}}^{-1}}{\mathrm{0,01100}\text{bar}}\right)\cdot \mathrm{0,01100}\text{bar}\\ & =& (-\mathrm{24,67}\text{L}{\text{mol}}^{-1}{\text{bar}}^{-1})\cdot \mathrm{0,01100}\text{bar}.\end{array}$$

Bilden wir die Summe von 2 und 3, so entsteht:

$$\begin{array}{rcl}{\left(\frac{\Delta \mathit{V}}{\Delta \mathit{T}}\right)}_{\mathit{p}}\cdot \Delta \mathit{T}+{\left(\frac{\Delta \mathit{V}}{\Delta \mathit{p}}\right)}_{\mathit{T}}\cdot \Delta \mathit{p}& =& (\mathrm{0,2494}-\mathrm{0,2714})\text{L}{\text{mol}}^{-1}\\ & =& -\mathrm{0,02196}\text{L}{\text{mol}}^{-1}.\end{array}$$

Dieses Ergebnis stimmt recht gut mit dem Ergebnis von 4 überein, d.h.

$$\Delta \mathit{V}\cong {\left(\frac{\Delta \mathit{V}}{\Delta \mathit{T}}\right)}_{\mathit{p}}\cdot \Delta \mathit{T}+{\left(\frac{\Delta \mathit{V}}{\Delta \mathit{p}}\right)}_{\mathit{T}}\cdot \Delta \mathit{p}\text{ .}$$

Die Quotienten $(\Delta \mathit{V}/\Delta \mathit{T}{)}_{\mathit{p}}$ und $(\Delta \mathit{V}/\Delta \mathit{p}{)}_{\mathit{T}}$ ergeben die Steigungen für $\Delta \mathit{T}$ bzw. $\Delta \mathit{p}\to 0$

$$\begin{array}{rcl}\underset{\Delta \mathit{T}\to 0}{lim}{\left(\frac{\Delta \mathit{V}}{\Delta \mathit{T}}\right)}_{\mathit{p}}& =& \frac{\partial \mathit{V}}{\partial \mathit{T}}\text{für}\mathit{p}=\text{konst.}\\ \underset{\Delta \mathit{p}\to 0}{lim}{\left(\frac{\Delta \mathit{V}}{\Delta \mathit{p}}\right)}_{\mathit{p}}& =& \frac{\partial \mathit{V}}{\partial \mathit{p}}\text{für}\mathit{T}=\text{konst.}.\end{array}$$

Diese Differenzialquotienten können wir analytisch bestimmen:

$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial \mathit{V}}{\partial \mathit{T}}& =& \frac{\partial }{\partial \mathit{T}}\left(\frac{\mathit{R}\mathit{T}}{\mathit{p}}\right)=\frac{\mathit{R}}{\mathit{p}}=\frac{\mathrm{8,314}\cdot {10}^{-2}}{1.000}\frac{\text{L}{\text{mol}}^{-1}\cdot \text{ bar }{\text{K}}^{-1}}{\text{bar}}\\ & =& \mathrm{0,08314}\text{L}{\text{mol}}^{-1}{\text{K}}^{-1}\\ \frac{\partial \mathit{V}}{\partial \mathit{p}}& =& \frac{\partial }{\partial \mathit{p}}\left(\frac{\mathit{R}\mathit{T}}{\mathit{p}}\right)=-\frac{\mathit{R}\mathit{T}}{{\mathit{p}}^2}=-\frac{\mathit{V}}{\mathit{p}}=-\frac{\mathrm{24,94}}{1.000}\frac{\text{L}{\text{mol}}^{-1}}{\text{bar}}\\ & =& -\mathrm{24,94}\text{L}{\text{mol}}^{-1}{\text{bar}}^{-1}.\end{array}$$

Diese Werte stimmen schon recht gut mit denen aus Punkt 2 und 3 für $\Delta \mathit{T}=3.000\text{K}$ und $\Delta \mathit{p}=\mathrm{0,0110}\text{bar}$ überein. Lassen wir $\Delta \mathit{T}$ und $\Delta \mathit{p}$ kleiner werden, werden sie noch besser übereinstimmen.