Partielle Ableitungen - Einleitung
Volumen , Druck und Temperatur eines Mols eines idealen Gases erfüllen die
Bedingung
Schreiben wir die Gleichung in der Form
so stellen und die unabhängigen Variablen, die abhängige Variable dar. Mathematisch gesehen liegt eine Funktion von zwei Variablen und vor. Wir fragen uns nun, wie sich ändert, wenn sich die unabhängigen Variablen geringfügig ändern:
1. Anfangspunkt
, .
2. Temperatur-Änderung, Druck konstant
, .
3. Druck-Änderung, Temperatur konstant
, .
4. Druck-Änderung, Temperatur-Änderung
, .
Wir können die Ergebnisse der Punkte 2 -4 auch anders formulieren, indem wir mit
bzw. erweitern:
2. -Änderung, konstant:
3. -Änderung, konstant:
Bilden wir die Summe von 2 und 3, so entsteht:
Dieses Ergebnis stimmt recht gut mit dem Ergebnis von 4 überein, d.h.
Die Quotienten und ergeben die Steigungen für bzw.
Diese Differenzialquotienten können wir analytisch bestimmen:
Diese Werte stimmen schon recht gut mit denen aus Punkt 2 und 3 für und überein. Lassen wir und kleiner werden, werden sie noch besser übereinstimmen.