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Ableitung einer Funktion mehrerer Variablen

Partielle Ableitungen - Einleitung

Volumen V , Druck p und Temperatur T eines Mols eines idealen Gases erfüllen die Bedingung

p V = R T , R = 8,314 10 -2   LbarK-1 mol-1 .

Schreiben wir die Gleichung in der Form

V = R T p ,

so stellen T und p die unabhängigen Variablen, V die abhängige Variable dar. Mathematisch gesehen liegt eine Funktion z = f ( x , y ) von zwei Variablen x und y vor. Wir fragen uns nun, wie sich V ändert, wenn sich die unabhängigen Variablen geringfügig ändern:

1. Anfangspunkt

p = 1.000  bar , T = 300,0  K .

Abb.1
Anfangspunkt

V = 8,314 10 -2 300,0 1.000  Lmol-1 = 24,94  Lmol-1 .

2. Temperatur-Änderung, Druck konstant

p = 1.000  bar , Δ T = + 3.000  K .

Abb.2
T -Änderung, p konstant

V = 8,314 10 -2 303,0 1.000   Lmol-1 = 25,19  Lmol-1 Δ V = 0,2494  Lmol-1 .

3. Druck-Änderung, Temperatur konstant

Δ p = + 1.100 10 -2   bar , T = 300.0 K .

Abb.3
p -Änderung, T konstant

V = 8,314 10 -2 300,0 1,011   Lmol-1 = 24,67  Lmol-1 Δ V = - 0,2714  Lmol-1 .

4. Druck-Änderung, Temperatur-Änderung

Δ p = + 1,100 10 -2   bar , Δ T = + 3.000  K .

Abb.4
p -Änderung, T -Änderung

V = 8,314 10 -2 303,0 1,011   Lmol-1 = 24,92  Lmol-1 Δ V = - 0,02467  Lmol-1 .

Wir können die Ergebnisse der Punkte 2 -4 auch anders formulieren, indem wir mit Δ V / Δ T bzw. Δ V / Δ p erweitern:

2. T -Änderung, p konstant:

Δ V = Δ V Δ T p Δ T = 0,2494  Lmol-1 3.000  K 3.000  K = ( 0,08314  Lmol-1 K-1 ) 3.000  K .

3. p -Änderung, T konstant:

Δ V = Δ V Δ p T Δ p = - 0,2714  Lmol-1 0,01100  bar 0,01100  bar = ( - 24,67  Lmol-1 bar-1 ) 0,01100  bar .

Bilden wir die Summe von 2 und 3, so entsteht:

Δ V Δ T p Δ T + Δ V Δ p T Δ p = ( 0,2494 - 0,2714 )   Lmol-1 = - 0,02196  Lmol-1 .

Dieses Ergebnis stimmt recht gut mit dem Ergebnis von 4 überein, d.h.

Δ V Δ V Δ T p Δ T + Δ V Δ p T Δ p  .

Die Quotienten ( Δ V / Δ T ) p und ( Δ V / Δ p ) T ergeben die Steigungen für Δ T bzw. Δ p 0

lim Δ T 0 Δ V Δ T p = V T für p = konst. lim Δ p 0 Δ V Δ p p = V p für T = konst. .

Diese Differenzialquotienten können wir analytisch bestimmen:

V T = T R T p = R p = 8,314 10 -2 1.000 Lmol-1   bar  K-1 bar = 0,08314  Lmol-1 K-1 V p = p R T p = - R T p 2 = - V p = - 24,94 1.000 Lmol-1 bar = - 24,94  Lmol-1 bar-1 .

Diese Werte stimmen schon recht gut mit denen aus Punkt 2 und 3 für Δ T = 3.000  K und Δ p = 0,0110  bar überein. Lassen wir Δ T und Δ p kleiner werden, werden sie noch besser übereinstimmen.

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