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Durchführung einer Kurvendiskussion

Durchführung einer Kurvendiskussion

Betrachten wir die Gleichung

f ( x ) = x 3 - 5 x 2 + 6 x .

Wir können sie in der Form eines Produkts linearer Faktoren schreiben:

f ( x ) = x ( x - 2 ) ( x - 3 )

Nullstellen

Setzen wir die rechte Seite gleich Null, so ergeben sich die Nullstellen von f ( x )

x ( x - 2 ) ( x - 3 ) = 0 x = 0 , x = 2 , x = 3.

Extrema

Die möglichen Extrema folgen aus der Bedingung f ' ( x ) = 0 , d.h.

f ' ( x ) = 3 x 2 - 10 x + 6 = 0.

Die Lösungen x 1 und x 2 sind gegeben durch

x = 10 ± ( 28 ) 1 / 2 6 = 5 ± ( 7 ) 1 / 2 3 x 1 0 , 785 , x 2 2 , 55.

Um zu prüfen, ob Extrema vorliegen, berechnen wir f ' ' ( x ) an den Stellen x 1 und x 2 . Die zweite Ableitung von f ( x ) ist

f ' ' ( x ) = 6 x - 10.

Daraus folgt

f ' ' ( x 1 ) < 0 Maximum , f ' ' ( x 2 ) > 0 Minimum

Keine Sattelpunkte liegen vor, weil die entsprechende Bedingung

f ' ( x ) = 0 und f ' ' ( x ) = 0

nie erfüllt ist.

Wendepunkte

Wendepunkte folgen aus den Bedingungen

f ' ' ( x ) = 0 und f ' ' ' ( x ) 0.

Es folgt

f ' ' ( x ) = 6 x - 10 = 0 x 1,67 und f ' ' ' ( x ) = 6 0 x .

Folglich liegt ein Wendepunkt an der Stelle x 1,67 vor, zwischen den beiden Extrema x 1 und x 2 .

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