Nullstellen

Setzen wir die rechte Seite gleich Null, so ergeben sich die Nullstellen von $\mathit{f}(\mathit{x})$

$$\mathit{x}(\mathit{x}-2)(\mathit{x}-3)=0\Rightarrow \mathit{x}=0,\mathit{x}=2,\mathit{x}=3.$$

Extrema

Die möglichen Extrema folgen aus der Bedingung $\mathit{f}\text{'}(\mathit{x})=0$, d.h.

$$\mathit{f}\text{'}(\mathit{x})=3{\mathit{x}}^2-10\mathit{x}+6=0.$$

Die Lösungen ${\mathit{x}}_1$ und ${\mathit{x}}_2$ sind gegeben durch

$$\mathit{x}=\frac{10\pm (28{)}^{1/2}}{6}=\frac{5\pm (7{)}^{1/2}}{3}\Rightarrow {\mathit{x}}_1\approx 0,785,{\mathit{x}}_2\approx 2,55.$$

Um zu prüfen, ob Extrema vorliegen, berechnen wir $\mathit{f}\text{'}\text{'}(\mathit{x})$ an den Stellen ${\mathit{x}}_1$ und ${\mathit{x}}_2$. Die zweite Ableitung von $\mathit{f}(\mathit{x})$ ist

$$\mathit{f}\text{'}\text{'}(\mathit{x})=6\mathit{x}-10.$$

Daraus folgt

$$\mathit{f}\text{'}\text{'}({\mathit{x}}_1)<0\Rightarrow \text{Maximum},\mathit{f}\text{'}\text{'}({\mathit{x}}_2)>0\Rightarrow \text{Minimum}$$

Keine Sattelpunkte liegen vor, weil die entsprechende Bedingung

$$\mathit{f}\text{'}(\mathit{x})=0\text{und}\mathit{f}\text{'}\text{'}(\mathit{x})=0$$

nie erfüllt ist.

Wendepunkte

Wendepunkte folgen aus den Bedingungen

$$\mathit{f}\text{'}\text{'}(\mathit{x})=0\text{und}\mathit{f}\text{'}\text{'}\text{'}(\mathit{x})\ne 0.$$

Es folgt

$$\mathit{f}\text{'}\text{'}(\mathit{x})=6\mathit{x}-10=0\Rightarrow \mathit{x}\approx \mathrm{1,67}\text{und}\mathit{f}\text{'}\text{'}\text{'}(\mathit{x})=6\ne 0\forall \mathit{x}.$$

Folglich liegt ein Wendepunkt an der Stelle $\mathit{x}\approx \mathrm{1,67}$ vor, zwischen den beiden Extrema ${\mathit{x}}_1$ und ${\mathit{x}}_2$.