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Extrema einer Funktion einer Variablen

Bestimmung von Extrema durch die zweiten und höheren Ableitungen - Erläuterung

Sei f ( x ) n -mal differenzierbar an der Stelle x 0 . Wir bezeichnen die erste Ableitung, die für x = x 0 nicht verschwindet, mit m n , d.h.

f ' ( x 0 ) = f ' ' ( x 0 ) = = f ( m - 1 ) ( x 0 ) = 0 aber f ( m ) ( x 0 ) 0.

Nun betrachten wir eine Änderung Δ x in x an der Stelle x 0 . Mit Hilfe der abgebrochenen Taylor´schen Formel erhalten wir die endliche Reihe für die entsprechende Änderung in f

f ( x 0 + Δ x ) - f ( x 0 ) = Δ x f ' ( x 0 ) + 1 2 ! ( Δ x ) 2 f ' ' ( x 0 ) + + 1 n ! ( Δ x ) n f ( n ) ( x o + ϑ Δ x ) ,

in der das letzte Glied den Parameter ϑ enthält ( 0 ϑ 1 ). Setzen wir jetzt n = m , dann folgt aus den Gleichungen und

Δ f = f ( x 0 + Δ x ) - f ( x 0 ) = 1 m ! ( Δ x ) m f ( m ) ( x 0 + ϑ Δ x ) .

Das Vorzeichen von Δ f bestimmt, wenn Δ x positive und negative Werte annimmt, ob ein Maximum oder Minimum vorliegt, d.h.

f ( x 0 + Δ x ) - f ( x 0 ) < 0 Maximum > 0 Minimum ,

wobei Δ x < 0 oder Δ x > 0 . Wenn man Δ x klein genug wählt, kann man garantieren, dass f ( m ) ( x 0 + ϑ Δ x ) immer dasselbe Vorzeichnen hat, wenn Δ x positive und negative Werte annimmt. Folglich hängt die Extremumart davon ab, welchen Wert m besitzt. Wenn m gerade ist, liegt ein Extremum vor. Wenn m ungerade ist, liegt ein Sattelpunkt vor. Die Möglichkeiten, die man aus Gleichung entnehmen kann, sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst:

m ( Δ x ) m f ( m ) ( x 0 ) Extremumart gerade > 0 < 0 relatives Maximum gerade > 0 > 0 relatives Minimum ungerade < 0 oder > 0 < 0 oder > 0 kein Extremum: Sattelpunkt
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