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Extrema einer Funktion einer Variablen

Bestimmung von Wendepunkten und Sattelpunkten

Abb.1
Wendepunkt

Aus (Abb. 1) erkennt man, dass sich an der Stelle x 0 das Vorzeichnen der Krümmung ändert, d.h. dort muss f ' ' ( x 0 ) = 0 sein. Folglich liegt ein Wendepunkt vor, wenn

f ' ' ( x 0 ) = 0 und f ' ' ' ( x 0 ) 0.

Daraus können wir auch entnehmen, dass an der Stelle x 0 die Steigung f ' ( x 0 ) der Kurve ein Extremum besitzt.

Wenn f ' ' ' ( x 0 ) auch verschwindet, dann muss die nächsthöhere nichtverschwindende Ableitung geradzahlig sein.

Theorem
Ist an einer Stelle x 0 f ' ' ( x 0 ) = 0 und f ' ' ' ( x 0 ) 0 , so liegt dort ein Wendepunkt vor. Ist sowohl die zweite als auch die dritte Ableitung gleich Null, so liegt ein Wendepunkt dann vor, wenn die nächsthöhere nichtverschwindende Ableitung ungeradzahlig ist.
Ist zusätzlich f ' ( x ) = 0 , d.h.
f ' ( x 0 ) = 0 , f ' ' ( x 0 ) = 0 und f ' ' ' ( x 0 ) 0 ,
dann liegt ein Sattelpunkt vor.
Abb.2
Sattelpunkt
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