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Extrema einer Funktion einer Variablen

Bestimmung von Extrema durch die zweiten und höheren Ableitungen

Abb.1
Extrema

Sei x 0 ein Stationärpunkt. Um die Extremumart zu erkennen, reicht es häufig aus, die Ableitung zweiter Ordnung f ' ' ( x 0 ) an der Stelle x 0 zu untersuchen.

Theorem
Eine hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum ist
f ' ( x 0 ) = 0 , und f ' ' ( x 0 ) > 0 oder f ' ' ( x 0 ) < 0 ,
und zwar bei
f ' ' ( x 0 ) < 0 Maximum > 0 Minimum.

Bei manchen Funktionen kann es vorkommen, dass die Ableitungen zweiter und höherer Ordnung an der Stelle x 0 auch verschwinden. Um einen allgemeinen Test zu formulieren, müssen wir dann wissen, mit welcher Ordnung die Ableitungen nicht verschwinden.

Theorem
Wenn an der Stelle x = x 0 die Ordnung m der niedrigsten für x = x 0 nicht verschwindenden Ableitung von f ( x ) geradzahlig ist, so liegt ein Extremum vor, und zwar bei
f ( m ) ( x 0 ) < 0 Maximum > 0 Minimum.
Ist m eine ungerade Zahl, so liegt kein Extremwert vor.

siehe Erläuterung.

Wenn m einen ungeraden Wert annimmt, liegt kein Extremum vor. Für m = 1 ist das selbstverständlich, weil die notwendige Bedingung f ' ( x 0 ) = 0 nicht erfüllt ist, d.h. x 0 ist kein Stationärpunkt.

Für m = 3 ist

f ' ( x 0 ) = 0 , f ' ' ( x 0 ) = 0 und f ' ' ' ( x 0 ) 0

und man nennt dieses einen Sattelpunkt.

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