Bestimmung von Extrema durch die zweiten und höheren Ableitungen

Sei ${\mathit{x}}_0$ ein Stationärpunkt. Um die Extremumart zu erkennen, reicht es häufig aus, die Ableitung zweiter Ordnung $\mathit{f}\text{'}\text{'}({\mathit{x}}_0)$ an der Stelle ${\mathit{x}}_0$ zu untersuchen.

Theorem

Eine hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum ist

$$\mathit{f}\text{'}({\mathit{x}}_0)=0,\text{und}\mathit{f}\text{'}\text{'}({\mathit{x}}_0)>0\text{oder}\mathit{f}\text{'}\text{'}({\mathit{x}}_0)<0,$$

und zwar bei

$$\mathit{f}\text{'}\text{'}({\mathit{x}}_0)\left\{\begin{array}{rcl}<0& \Rightarrow & \text{Maximum}\\ >0& \Rightarrow & \text{Minimum.}\end{array}\right.$$

Bei manchen Funktionen kann es vorkommen, dass die Ableitungen zweiter und höherer Ordnung an der Stelle ${\mathit{x}}_0$ auch verschwinden. Um einen allgemeinen Test zu formulieren, müssen wir dann wissen, mit welcher Ordnung die Ableitungen nicht verschwinden.

Theorem

Wenn an der Stelle $\mathit{x}={\mathit{x}}_0$ die Ordnung $\mathit{m}$ der niedrigsten für $\mathit{x}={\mathit{x}}_0$ nicht verschwindenden Ableitung von $\mathit{f}(\mathit{x})$ geradzahlig ist, so liegt ein Extremum vor, und zwar bei

$${\mathit{f}}^{(\mathit{m})}({\mathit{x}}_0)\left\{\begin{array}{rcl}<0& \Rightarrow & \text{Maximum}\\ >0& \Rightarrow & \text{Minimum.}\end{array}\right.$$

Ist $\mathit{m}$ eine ungerade Zahl, so liegt kein Extremwert vor.

siehe Erläuterung.

Wenn $\mathit{m}$ einen ungeraden Wert annimmt, liegt kein Extremum vor. Für $\mathit{m}=1$ ist das selbstverständlich, weil die notwendige Bedingung $\mathit{f}\text{'}({\mathit{x}}_0)=0$ nicht erfüllt ist, d.h. ${\mathit{x}}_0$ ist kein Stationärpunkt.

Für $\mathit{m}=3$ ist

$$\mathit{f}\text{'}({\mathit{x}}_0)=0,\mathit{f}\text{'}\text{'}({\mathit{x}}_0)=0\text{und}\mathit{f}\text{'}\text{'}\text{'}({\mathit{x}}_0)\ne 0$$

und man nennt dieses einen Sattelpunkt.