Extrema einer Funktion einer Variablen
Bestimmung von Extrema durch die zweiten und höheren Ableitungen
Sei ein Stationärpunkt. Um die Extremumart zu erkennen, reicht es häufig aus, die Ableitung zweiter Ordnung an der Stelle zu untersuchen.
- Theorem
- Eine hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum ist
- und zwar bei
Bei manchen Funktionen kann es vorkommen, dass die Ableitungen zweiter und höherer Ordnung an der Stelle auch verschwinden. Um einen allgemeinen Test zu formulieren, müssen wir dann wissen, mit welcher Ordnung die Ableitungen nicht verschwinden.
- Theorem
- Wenn an der Stelle die Ordnung der niedrigsten für nicht verschwindenden Ableitung von geradzahlig ist, so liegt ein Extremum vor, und zwar bei
- Ist eine ungerade Zahl, so liegt kein Extremwert vor.
siehe Erläuterung.
Wenn einen ungeraden Wert annimmt, liegt kein Extremum vor. Für ist das selbstverständlich, weil die notwendige Bedingung nicht erfüllt ist, d.h. ist kein Stationärpunkt.
Für ist
und man nennt dieses einen Sattelpunkt.