Extrema

Ein Extremum ist ein Maximum oder ein Minimum. In einem gegebenen Bereich von $\mathit{x}$-Werten ist das Maximum der größte Wert von $\mathit{y}$ und das Minimum der kleinste Wert. Ein globales Extremum ist der größte bzw. kleinste Wert von $\mathit{y}=\mathit{f}(\mathit{x})$ in ihrem ganzen Definitionsbereich, während ein relatives Extremum oder lokales Extremum ein Extremwert in einer lokalen definierten Umgebung ist. Der Unterschied zwischen lokalen und globalen Extrema ist in der (Abb. 1) für Minima gezeigt.

Man erkennt in (Abb. 1) , dass die Steigungen der Tangenten bei den $\mathit{x}$-Werten der Extrema gleich Null sind. Die $\mathit{x}$ -Werte heißen Stationärpunkte.

Theorem

Folglich ist eine notwendige Bedingung, dass eine stetige Funktion $\mathit{f}(\mathit{x})$ an der Stelle ${\mathit{x}}_0$ ein relatives Extremum besitzt, gegeben durch

$$\mathit{f}\text{'}({\mathit{x}}_0)=0.$$

Der einschränkende Zusatz „notwendig” muss angefügt werden, da auch Sattelpunkte die Bedingung erfüllen. Ob also ein Extremum an der Stelle ${\mathit{x}}_0$ vorliegt, muss durch die Untersuchung der Werte von $\mathit{f}(\mathit{x})$, $\mathit{f}\text{'}(\mathit{x})$, $\mathit{f}\text{'}\text{'}(\mathit{x})$ oder höheren Ableitungen in der Umgebung von ${\mathit{x}}_0$ ermittelt werden. Siehe (Abb. 2) und (Abb. 3) .

Theorem

Eine hinreichende Bedingung, dass eine stetige Funktion $\mathit{f}(\mathit{x})$ an der Stelle ${\mathit{x}}_0$ ein relatives Extremum besitzt, ist

$$\mathit{f}\text{'}({\mathit{x}}_0)=0,$$

und die 2. Ableitung $\mathit{f}\text{'}\text{'}({\mathit{x}}_0)\ne 0$ ist. Dabei gilt für $\Delta \mathit{x}\ne 0$:

$$\mathit{f}({\mathit{x}}_0+\Delta \mathit{x})-\mathit{f}({\mathit{x}}_0)>0\Rightarrow \text{Minimum},\mathit{f}({\mathit{x}}_0+\Delta \mathit{x})-\mathit{f}({\mathit{x}}_0)<0\Rightarrow \text{Maximum,}$$

bzw.

Erste Ableitung

$$\mathit{f}\text{'}(\mathit{x}<{\mathit{x}}_0)<0,\mathit{f}\text{'}(\mathit{x}>{\mathit{x}}_0)>0\Rightarrow \text{Minimum}$$

$$\mathit{f}\text{'}(\mathit{x}<{\mathit{x}}_0)>0,\mathit{f}\text{'}(\mathit{x}>{\mathit{x}}_0)<0\Rightarrow \text{Maximum}$$

und

Zweite Ableitung

$$\mathit{f}\text{'}\text{'}({\mathit{x}}_0)>0\Rightarrow \text{Minimum},\mathit{f}\text{'}\text{'}({\mathit{x}}_0)<0\Rightarrow \text{Maximum}$$

Die Ermittlung des Kurvenverlaufs einer Funktion, die viele Extrema besitzt, ist mitunter schwierig. So befinden sich für die Funktionen $\mathit{y}=cos(1/\mathit{x})$ und $\mathit{y}=sin(1/\mathit{x})$ in der Umgebung vom Punkt $\mathit{x}=0$ unendlich viele Extrema. Siehe (Abb. 4) .