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Nullstellen einer Funktion einer Variablen

Newton-Verfahren

Die Gleichung

y = f ( x 0 ) + f ( x 1 ) - f ( x 0 ) x 1 - x 0 ( x - x 0 )

ist mit der Gleichung

Δ y f ' ( x ) Δ x oder y = f ( x 0 ) + f ' ( x 0 ) Δ x

verwandt: In Gleichung steht anstelle des Differenzialquotienten f ' ( x 0 ) ein Differenzenquotient. Beim so genannten Newton-Verfahren benutzt man nun statt einer Sekante die Tangente in x 0 als Näherungsdarstellung der Funktion. Voraussetzung ist, dass die Funktion f ( x ) in der Umgebung von x 0 differenzierbar ist.

Abb.1
Newton-Verfahren

Für ihren Schnittpunkt x 1 mit der x -Achse (siehe (Abb. 1) ) gilt

0 = f ( x 0 ) + f ' ( x 0 ) ( x 1 - x 0 ) ,

also

x 1 = x 0 - f ( x 0 ) f ' ( x 0 ) .

x 1 ist i. Allg. ein besserer Approximationswert für α . Falls f ( x 1 ) wiederum nicht der gewünschten Genauigkeit entspricht, wiederholt man Rechenschritt mit x 1 statt x 0 und erhält als neuen Approximationswert x 2 . Die Iterationsformel

x i + 1 = x i - f ( x i ) f ' ( x i )

definiert eine Folge, die i. Allg. recht gut gegen α konvergiert. Voraussetzung ist allerdings, dass f ' ( x ) in der Umgebung von α beschränkt ist und dass man nicht zu weit von α entfernt startet.

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