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Nullstellen einer Funktion einer Variablen

Regula falsi

Abb.1
Regula falsi

Man legt eine Gerade (Sekante) durch zwei Funktionspunkte ( x 0 , f ( x 0 ) ) und ( x 1 , f ( x 1 ) ) (siehe (Abb. 1) ). Dann ist die Gleichung für die Interpolationsgerade

y = f ( x 0 ) + f ( x 1 ) - f ( x 0 ) x 1 - x 0 ( x - x 0 )

oder

y = f ( x 1 ) + f ( x 1 ) - f ( x 0 ) x 1 - x 0 ( x - x 1 ) .

Wir benutzen nun die Gleichungen und zur approximativen Nullstellenbestimmung. Seien also die y -Werte für x 0 und x 1 recht klein. x 0 und x 1 können dann als Näherungswerte für die gesuchte Lösung der Gleichung 0 = f ( α ) betrachtet werden. Wir benutzen nun Gleichungen und als Näherungsdarstellung der Funktion y = f ( x ) . Die Nullstellengleichung lässt sich hier leicht auflösen.

Die Lösung von

0 = f ( x 1 ) + f ( x 1 ) - f ( x 0 ) x 1 - x 0 ( x - x 1 )

bezeichnen wir mit x 2 . Sie ist ein neuer, besserer Approximationswert für die Nullstelle (siehe (Abb. 1) ). Die Formel für x 2

x 2 = x 1 - f ( x 1 ) x 1 - x 0 f ( x 1 ) - f ( x 0 )

heißt Regula falsi.

Wenn f ( x 2 ) noch nicht der gewünschten Genauigkeit entspricht, wiederholt man den Rechenschritt mit x 1 , x 2 anstelle von x 0 , x 1 und erhält einen verbesserten Wert x 3 . Nach (Abb. 1) ist es günstig, wenn die beiden Start-Punkte auf verschiedenen Seiten der Nullstelle liegen. Falls dies bei x 1 , x 2 nicht der Fall ist, wohl aber bei x 0 , x 2 , wird man besser mit dem letzteren Paar weiterrechnen, es sei denn, x 0 ist ein sehr schlechter Approximationswert.

Aus ergibt sich die Iterationsformel

x n + 1 = x n - f ( x n ) x n - x n - 1 f ( x n ) - f ( x n - 1 ) .
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