zum Directory-modus

Nullstellen einer Funktion einer Variablen

Bestimmung von Nullstellen

Die Ermittlung von Nullstellen einer Funktion y = f ( x ) , d.h. die Werte α , für die 0 = f ( α ) , kommt häufig in der angewandten Mathematik vor.

Abb.1
Nullstellen

Nullstellen lassen sich in der Praxis selten exakt bestimmen. Das gelingt nur, wenn man einen geschlossenen (und möglichst auch einfachen) Ausdruck für die Umkehrfunktion f -1 angeben kann; die Nullstelle erhält man dann als α = f -1 ( 0 ) . Z.B. das Polynom 2 -ten Grades

f ( x ) = a x 2 + b x + c

hat zwei Nullstellen, gegeben durch

α = - b ± ( b 2 - 4 a c ) 1 / 2 2 a .

Andernfalls ist man auf numerische Näherungsverfahren angewiesen, die es einem gestatten sollten, die Nullstelle auf beliebig viele Stellen genau zu berechnen. Z.B. die Gleichung

f ( x ) = x + sin x

lässt sich nicht analytisch nach x auflösen, also muss die Nullstelle numerisch bestimmt werden.

Zwei Näherungsverfahren (Iterationsverfahren) zur Nullstellenbestimmung werden hier beschrieben:

  1. Regula falsi: Das Näherungsverfahren Regula falsi (Regel des Falschen) oder auch Sekantenverfahren stellt einen Iterationswert durch Ermittlung des Schnittpunktes x 2 der Sekante der Intervallpunkte ( x 0 , f ( x 0 ) ) und ( x 1 , f ( x 1 ) ) mit der x -Achse fest, wobei x 0 und x 1 die Startwerte sind.
  2. Newton-Verfahren: Das Newton-Verfahren oder Tangentenverfahren ersetzt die Sekante von Regula falsi durch die Tangente am Startpunkt x 0 . Der nächste Iterationswert wird als der Schnittpunkt x 1 dieser Tangente mit der x -Achse ermittelt.
Abb.2
Approximative Nullstellenbestimmung

Man hofft, dass die Sequenz von Näherungen x n : n 1 gegen die gesuchte Nullstelle α konvergiert, d.h.

lim n x n = α .
<Seite 1 von 3