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Taylor- und MacLaurin-Reihen mit Restglied

Beispiel: ln ( 1 + x )

Wir stellen die Funktion f ( x ) = ln ( 1 + x ) als MacLaurin-Reihe dar. Wegen

f ( x ) = ln ( 1 + x ) f ( 0 ) = 0 f ' ( x ) = ( 1 + x ) -1 f ' ( 0 ) = 1 f ' ' ( x ) = - ( 1 + x ) -2 f ' ' ( 0 ) = -1 f ' ' ' ( x ) = 2 ( 1 + x ) -3 f ' ' ' ( 0 ) = 2

ist

ln ( 1 + x ) = f ( 0 ) + f ' ( 0 ) x + f ' ' ( 0 ) 2 ! x 2 + f ' ' ' ( 0 ) 3 ! x 3 + + f ( n -1 ) ( 0 ) ( n -1 ) ! x n -1 + = 0 + 1 x - 1 2 ! x 2 + 2 3 ! x 3 + = x - x 2 2 + x 3 3 - x 4 4 + + ( -1 ) n -2 x n -1 n -1 + R n .

Das Restglied ist gegeben durch:

R n ( x ) = f ( n ) ( ξ ) n ! x n 0 ξ x x n n 0 ξ x 1

Folglich strebt R n ( x ) gegen 0 , wenn n und 0 x < 1 . Also ist die Reihe

ln ( 1 + x ) = k = 1 ( -1 ) k -1 x k k

für 0 x < 1 konvergent. Nach dem Quotientenkriterium von D' Alembert ist

lim k a k +1 a k = | x | .

Also ist die Reihe für -1 < x < 1 konvergent. Für x = 1 erhalten wir die alternierende harmonische Reihe

ln ( 2 ) = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - = k = 1 ( -1 ) k -1 1 k .

Sie ist nach dem Leibniz-Kriterium bedingt konvergent. Für x = -1 ist divergent

ln ( 0 ) = 1 - 1 2 - 1 3 - 1 4 - 1 5 - = 2 - k = 1 1 k = -

Die Reihe ist also für -1 < x 1 konvergent.

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