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Taylor- und MacLaurin-Reihen mit Restglied

Binomischer Satz

Für jede natürliche Zahl n gilt

( 1 + x ) n = 1 + n x + n ( n - 1 ) 2 ! x 2 + n ( n - 1 ) ( n - 2 ) 3 ! x 3 + + x n = n 0 x 0 + n 1 x + n 2 x 2 + n 3 x 3 + + n n x n ,

wobei

n k = n ! k ! ( n - k ) !

ist.

Wir erweitern dieses Ergebnis für negative und nicht ganzzahlige Werte von n . Sei f ( x ) = ( 1 + x ) q . Wir stellen f ( x ) als MacLaurin-Reihe dar:

f ( x ) = ( 1 + x ) q f ( 0 ) = 1 f ' ( x ) = q ( 1 + x ) q -1 f ' ( 0 ) = q f ' ' ( x ) = q ( q -1 ) ( 1 + x ) q -2 f ' ' ( 0 ) = q ( q -1 ) f ' ' ' ( x ) = q ( q -1 ) ( q -2 ) ( 1 + x ) q -3 f ' ' ' ( 0 ) = q ( q -1 ) ( q -2 )

Dann ist

( 1 + x ) q = f ( 0 ) + f ' ( 0 ) x + f ' ' ( 0 ) 2 ! x 2 + f ' ' ' ( 0 ) 3 ! x 3 + + f ( n -1 ) ( 0 ) ( n -1 ) ! x n -1 + = 1 + q x + q ( q -1 ) 2 ! x 2 + q ( q -1 ) ( q -2 ) 3 ! x 3 + + R n ( x )  .

Das Restglied ist

R n ( x ) = f ( n ) ( ξ ) n ! x n 0 ξ x = q ( q -1 ) ( q -2 ) ( q - n +1 ) ( 1 + ξ ) q - n x n n !  .

Für n > q erreicht ( 1 + ξ ) q - n ein Maximum bei ξ = 0 . Es gilt

R n ( x ) q ( q -1 ) ( q -2 ) ( q - n +1 ) x n n ! .

Falls q eine natürliche Zahl ist, wird q ( q -1 ) ( q -2 ) ( q - n +1 ) = 0 für n = q +1 , und die Reihe bricht ab. Sonst konvergiert R n ( x ) gegen 0 , nur wenn | x | < 1 ist.

Beispiel

Sei f ( x ) = 1 + x . Man erhält die unendliche Reihe

f ( x ) = 1 + 1 2 x + 1 2 - 1 2 x 2 2 ! + 1 2 - 1 2 - 3 2 x 3 3 ! + = 1 + 1 2 x - 1 8 x 2 + 1 16 x 3 - .

Sie ist gültig für | x | < 1 .

Wir benutzen dieses Ergebnis, um 1,1 annäherungsweise zu berechnen, d.h. x=0,1 .

1,1 1 + 1 2 0,1 - 1 8 ( 0,1 ) 2 + 1 16 ( 0,1 ) 3 1 + 0,5 - 0,00125 + 0,0000625 1,0488125 .

Mit einem Taschenrechner erhält man 1,1 = 1,04880884 .

Beispiel

Sei f ( x ) = ( 1 + x ) 2 . Man erhält die endliche Reihe

f ( x ) = 1 + 2 x + 2 1 x 2 2 ! + 0 + 0 + = 1 + 2 x + x 2 .

Dies entspricht der binomischen Formel.

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