zum Directory-modus

Taylor- und MacLaurin-Reihen mit Restglied

Beispiel: sin ( x )

Wir stellen die Funktion f ( x ) = sin ( x ) als MacLaurin-Reihe dar. Wegen

f ( x ) = sin ( x ) f ( 0 ) = 0 f ' ( x ) = cos ( x ) f ' ( 0 ) = 1 f ' ' ( x ) = - sin ( x ) f ' ' ( 0 ) = 0 f ' ' ' ( x ) = - cos ( x ) f ' ' ' ( 0 ) = -1

ist

sin ( x ) = f ( 0 ) + f ' ( 0 ) x + f ' ' ( 0 ) 2 ! x 2 + f ' ' ' ( 0 ) 3 ! x 3 + + f ( n -1 ) ( 0 ) ( n -1 ) ! x n -1 + = 0 + 1 x + 0 2 ! x 2 + -1 3 ! x 3 + = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - x 7 7 ! + + ( -1 ) n -1 x 2 n -1 ( 2 n -1 ) ! + = k = 0 ( -1 ) k x 2 k +1 ( 2 k +1 ) ! = k = 0 a k .

Nach dem Quotientenkriterium ist

lim n a 2 n +1 a 2 n -1 = lim n x 2 n +1 ( 2 n + 1 ) ! ( 2 n - 1 ) ! x 2 n -1 = x 2 lim n 1 2 n ( 2 n + 1 ) = 0 ,

d.h. die Reihe konvergiert für alle x .

Alternativ stellt man die Funktion f ( x ) = sin ( x ) als Reihe mit Restglied dar:

sin ( x ) = f ( 0 ) + f ' ( 0 ) x + f ' ' ( 0 ) 2 ! x 2 + f ' ' ' ( 0 ) 3 ! x 3 + + f ( n -1 ) ( 0 ) ( n -1 ) ! x n -1 + R n ( x ) ,

Das Restglied R n ( x ) ist gegeben durch die Formel

R n ( x ) = f ( n ) ( ξ ) n ! x n 0 ξ x .

Es ergibt sich

| R n ( x ) | = | x | n n ! | sin ( ξ ) |  für n gerade oder | x | n n ! | cos ( ξ ) | 0 ξ x  für n ungerade.

Da | sin ( ξ ) | und | cos ( ξ ) | nie größer als 1 sind, und | x | n / n ! 0 für n , schlussfolgern wir, dass | R n ( x ) | 0 für n .

Abb.1
MacLaurin-Reihenentwicklung von sin ( x )

Polynome für n = 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , 15 , 17

Seite 2 von 4