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Taylor- und MacLaurin-Reihen mit Restglied

Taylor- und MacLaurin-Reihen mit Restglied

Sind eine Funktion f ( x ) und ihre ersten n Ableitungen in einem den Punkt x = a enthaltenden Intervall stetig, dann gilt

f ( x ) = f ( a ) + f ' ( a ) ( x - a ) + f ' ' ( a ) 2 ! ( x - a ) 2 + + f ( n -1 ) ( a ) ( n -1 ) ! ( x - a ) n -1 + R n ( x ) .

Das Restglied R n ( x ) ist gegeben durch die Formel

R n ( x ) = f ( n ) ( ξ ) n ! ( x - a ) n a ξ x (Lagrange´sche Restgliedform)

oder durch

R n ( x ) = f ( n ) ( ζ ) ( n -1 ) ! ( x - a ) ( x - ζ ) n -1 a ζ x (Cauchy´sche Restgliedform)

Liegt die Potenzreihe in der von angegebenen Form vor, dann ist sie endlich, und Konvergenzfragen erübrigen sich.

Gilt für n

lim n R n ( x ) = 0 ,

dann erhalten wir die Taylor- oder die MacLaurin-Reihe.

Bricht man die Reihenentwicklung von f ( x ) bei einem beliebigen Glied ( n -1 ) ab, so gibt das Restglied R n ( x ) den dadurch entstandenen Fehler an:

f ( x ) = f n -1 ( x ) + R n ( x )

Seien m bzw. M eine untere bzw. obere Schranke von R n ( x )

m < R n ( x ) < M ,

dann ist

f n -1 ( x ) + m < f ( x ) < f n -1 ( x ) + M .
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