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Potenzreihen

Potenzreihenentwicklungen von Funktionen

Die Entwicklung einer Funktion f ( x ) in eine Potenzreihe bietet die Möglichkeit, die Funktion durch Polynome anzunähern

f ( x ) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + .
Beispiel
1 1 + x = 1 - x + x 2 - x 3 + gültig für -1 < x < 1 e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + gültig für alle x

Taylor gab eine allgemeine Formel an, um eine Funktion f ( x ) in eine Potenzreihe in ( x - a) zu entwickeln. Voraussetzung ist, erstens, dass f ( x ) an der Stelle ( x - a) unendlich differenzierbar ist, d.h. die unendliche Folge der Ableitungen

f ' ( x - a ) , f ' ' ( x - a ) , , f ( n ) ( x - a ) ,

existiert, und zweitens, dass eine unendliche Potenzreihe wie ein endliches Polynom gliedweise differenziert werden kann. Die Potenzreihe sei

f ( x ) = c 0 + c 1 ( x - a ) + c 2 ( x - a ) 2 + .

Durch wiederholtes Differenzieren folgt:

f ' ( x ) = c 1 + 2 c 2 ( x - a ) + 3 c 3 ( x - a ) 2 + f ' ' ( x ) = 2 c 2 + 6 c 3 ( x - a ) + 12 c 4 ( x - a ) 2 + f ' ' ' ( x ) = 6 c 3 + 24 c 4 ( x - a ) + 60 c 5 ( x - a ) 2 +

Setzt man x = a , so ergibt sich:

c 0 = f ( a ) c 1 = f ' ( a ) c 2 = f ' ' ( a ) 2 ! c 3 = f ' ' ' ( a ) 3 ! c n -1 = f ( n -1 ) ( a ) ( n -1 ) !

Folglich ist

f ( x ) = f ( a ) + f ' ( a ) ( x - a ) + f ' ' ( a ) 2 ! ( x - a ) 2 + + f ( n -1 ) ( a ) ( n -1 ) ! ( x - a ) n -1 + = k = 0 ( x - a ) k k ! f ( k ) ( a ) .

Dies nennt man die Taylor-Reihe.

Ist die vorgegebene Funktion als Potenzreihe in x darstellbar, so entsteht eine MacLaurin-Reihe

f ( x ) = f ( 0 ) + f ' ( 0 ) x + f ' ' ( 0 ) 2 ! x 2 + + f ( n -1 ) ( 0 ) ( n -1 ) ! x n -1 +  für a=0.

Sie ist ein Spezialfall der Taylor-Reihe.

Wird in der Taylor-Reihe x x + h und a x

f ( x + h ) = k = 0 h k k ! f ( k ) ( x ) = f ( x ) + f ' ( x ) h + f ' ' ( x ) 2 ! h 2 + ,

so entsteht eine Entwicklung nach einer Änderung h bei der Veränderlichen x .

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