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Potenzreihen

Potenzreihen

Die Darstellung einer Größe S als eine unendliche Reihe

S = k = 1 a k = a 0 + a 1 + a 2 +

heißt, dass S der Grenzwert einer Folge von Partialsummen ist

S = lim n S n = lim n k = 0 n -1 a k .

Wenn die Glieder a k Funktionen von x der Form

a k = c k x k c k konstant

sind, dann heißt die Reihe Potenzreihe in x , deren Partialsummen Polynome sind

S n ( x ) = k = 0 n -1 c k x k = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + + c n -1 x n -1 .

Ebenso heißt

k = 0 c k ( x - a ) k = c 0 + c 1 ( x - a ) + c 2 ( x - a ) 2 + + c n -1 ( x - a ) n -1 +

eine Potenzreihe in ( x - a ) .

Sei

R n ( x ) = k = n c k x k = c n x n + c n +1 x n +1 + c n +2 x n +2 +

das Restglied nach n Gliedern. Dann gilt

k = 0 c k x k = S n ( x ) + R n ( x ) .

Konvergiert k = 0 c k x k für x = x 0 gegen S ( x 0 ) , so gilt

lim n S n ( x 0 ) = S ( x 0 ) .

Dann ist

lim n S ( x 0 ) - S n ( x 0 ) = lim n R n ( x 0 ) = 0 .
Konvergenz einer Potenzreihe
k = 0 c k x k konvergiert für x = x 0 , wenn es zu jeder positiven Zahl ε > 0 eine m gibt, sodass für alle n > m R n ( x 0 ) < ε gilt.

Beachte, dass i. Allg. m von ε und x 0 abhängt.

Konvergenzintervall einer Potenzreihe
Die Menge aller Werte von x , für die eine Potenzreihe k = 0 c k x k konvergiert, nennt man Konvergenzintervall.

Nimmt man an, dass eine Potenzreihe k = 0 c k x k für alle x mit | x | < R absolut konvergiert, d.h. k = 0 | c k x k | für alle x mit | x | < R konvergiert, dann gibt es laut der Konvergenzdefinition für | x | = r < R und ε > 0 eine natürliche Zahl m ( ε , r ) , und es gilt

R n ( r ) < ε für alle n > m ( ε , r ) .

R n ( x ) = k = n | c k x k | hat sein Maximum im Intervall | x | r für | x | = r . Wählt man nun x im Intervall | x | r , dann gilt

R n ( x ) < ε für alle n > m ( ε , r ) und | x | r ,

d.h. m hängt nicht von der Wahl des x im Intervall | x | r ab. Man sagt, die Potenzreihe für | x | r < R konvergiert gleichmäßig.

Theorem
Konvergiert k = 0 c k x k absolut im Intervall | x | < R , dann konvergiert sie gleichmäßig für | x | r < R .
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