zum Directory-modus

Differenziation im Computer

Numerische Differenziation

Eine Annäherung der ersten Ableitung einer Funktion lässt sich durch Differenziation des Interpolationspolynoms der vorliegenden Funktionswerte erreichen. Z. sB. ist für zwei Punkte ( x 0 , f ( x 0 ) ) , ( x 1 , f ( x 1 ) ) das Lagrange´sche Interpolationspolynom

p ( x ) = L 0 ( x ) f ( x 0 ) + L 1 ( x ) f ( x 1 ) ,

wobei

L 0 ( x ) = x - x 1 x 0 - x 1 L 1 ( x ) = x - x 0 x 1 - x 0

sind. Dann ist

p ' ( x ) = f ( x 0 ) x 0 - x 1 + f ( x 1 ) x 1 - x 0 = f ( x 1 ) - f ( x 0 ) x 1 - x 0

Setzt man x 0 = x und x 1 = x + h , so ergibt sich die Differenz erster Ordnung

f ' ( x ) p ' ( x ) = f ( x + h ) - f ( x ) h .

Mit drei Punkten ( x 0 , f ( x 0 ) ) , ( x 1 , f ( x 1 ) ) , ( x 2 , f ( x 2 ) ) ist eine bessere Annäherung zu erwarten. Das Lagrange´sche Interpolationspolynom ist dann

p ( x ) = L 0 ( x ) f ( x 0 ) + L 1 ( x ) f ( x 1 ) + L 2 ( x ) f ( x 2 )

mit

L 0 ( x ) = x - x 1 x 0 - x 1 x - x 2 x 0 - x 2 L 1 ( x ) = x - x 0 x 1 - x 0 x - x 2 x 1 - x 2 L 2 ( x ) = x - x 0 x 2 - x 0 x - x 1 x 2 - x 1

Dann ist

p ' ( x ) = 2 x - x 1 - x 2 ( x 0 - x 1 ) ( x 0 - x 2 ) f ( x 0 ) + 2 x - x 0 - x 2 ( x 1 - x 0 ) ( x 1 - x 2 ) f ( x 1 ) + 2 x - x 0 - x 1 ( x 2 - x 0 ) ( x 2 - x 1 ) f ( x 2 )

Mit x 0 = x , x 1 = x + h und x 2 = x + 2 h ist dann

f ' ( x ) 1 2 h ( -3 f ( x ) + 4 f ( x ) - f ( x + h ) ) f ' ( x + h ) 1 2 h ( - f ( x ) + f ( x + 2 h ) ) f ' ( x + 2 h ) 1 2 h ( f ( x ) - 4 f ( x + h ) + 3 f ( x + 2 h ) ) .

Ebenso lassen sich kompliziertere Formeln durch Interpolationspolynome höheren Grades herleiten, z.B. für fünf statt für drei Punkte.

Seite 2 von 2>