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Differenziation im Computer

Differenzen

Ist eine Funktion y = f ( x ) gegeben, dann ist die Steigung der Funktionskurve an der Stelle x gegeben durch die Ableitung:

d y d x = f ' ( x ) = lim h 0 f ( x + h ) - f ( x ) h .

Die Ableitung ist aber nur berechenbar, wenn die Funktion f ( x ) bekannt ist. Doch in der Praxis, z.B. bei einem Experiment, kommt es vor, dass die funktionale Form einer Kurve unbekannt ist und von ihr nur Werte in tabellarischer Form vorliegen. In diesem Fall berechnet man numerisch die Ableitung mittels eines Differenzenverfahrens, wobei die Ableitung durch eine Differenz angenähert wird. Differenzen werden auch bei der numerischen Lösung von Differenzialgleichungen und Interpolationen eingesetzt.

Als Beispiel betrachten wir eine Polynomfunktion, z.B. f ( x ) = x 3 - x + 1 . Wir tragen die Funktionswerte f ( x ) für verschiedene Argumente x in eine Tabelle ein:

Tab.1
Wertetabelle der Funktion f ( x ) = x 3 - x + 1
x 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
f ( x ) 1,0 0,625 1,0 2,875 7,0 14,125

Jetzt wird die Differenz erster Ordnung definiert:

Differenz erster Ordnung
Die Vorwärts-Differenz erster Ordnung an der Stelle x für eine Schrittweite h ist
Δ f ( x ) = f ( x + h ) - f ( x ) .
Δ ist der Differenzenoperator.

Die Differenzen erster Ordnung für unsere Funktion sind:

Δ f ( 0 ) = f ( 0,5 ) - f ( 0 ) = - 0,375 Δ f ( 0,5 ) = f ( 1 ) - f ( 0,5 ) = 0,375 Δ f ( 1 ) = f ( 1,5 ) - f ( 1 ) = 1,875 Δ f ( 1,5 ) = f ( 2 ) - f ( 1,5 ) = 4,125 Δ f ( 2 ) = f ( 2,5 ) - f ( 2 ) = 7,125

Teilen wir die Differenzen erster Ordnung durch die Länge h = 0,5 , so erhalten wir Differenzenquotienten als Annäherungen zur ersten Ableitung der Funktion an den verschiedenen Stellen. Zum Vergleich berechnen wir die exakten Werte der ersten Ableitung f ' ( x ) = 3 x 2 - 1 an denselben Stellen:

Tab.2
Erste Ableitung der Funktion f ( x ) = x 3 - x + 1
x 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
Δ f ( x ) / h -0,75 0,75 3,75 8,25 14,25
f ' ( x ) -1,0 -0,25 2,0 5,75 11,0

Der Tabelle entnimmt man, dass die Annäherung grob ist, diese jedoch durch eine kleinere Schrittweite h verbessert werden kann.

Ebenso lassen sich Differenzen höherer Ordnung definieren. Die Differenz zweiter Ordnung an der Stelle x erhält man durch Anwendung des Differenzenoperators Δ auf die Differenz erster Ordnung:

Δ 2 f ( x ) = Δ ( f ( x + h ) - f ( x ) ) = Δ ( f ( x + h ) ) - Δ ( f ( x ) ) = ( f ( x + 2 h ) - f ( x + h ) ) - ( f ( x + h ) - f ( x ) ) = f ( x + 2 h ) - 2 f ( x + h ) + f ( x ) .

Man bevorzugt andere Verfahren der numerischen Differenziation.

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