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Mittelwertsatz der Differenzialrechnung

Unbestimmte Ausdrücke

Die Definition der Ableitung

lim Δ x 0 f ( x 0 + Δ x ) - f ( x 0 ) Δ x

nennt man einen unbestimmten Ausdruck, da der Grenzwert im Zähler und im Nenner Null ist, d.h. er ist ein Ausdruck der Form 0 0 . Andere unbestimmte Ausdrücke sind

, 0 , - , 0 0 , 0 , 1 .
Regel von L´Hospital
Seien f ( x ) und g ( x ) in einem Intervall 0 < | x - a | < δ differenzierbare Funktionen mit lim x a f ( x ) = 0 und lim x a g ( x ) = 0 und es gelte g ( x ) 0 im Intervall. Dann folgt
lim x a f ( x ) g ( x ) = lim x a f ' ( x ) g ' ( x ) ,
falls lim x a f ' ( x ) g ' ( x ) existiert.
Beweis

Laut dem verallgemeinerten Mittelwertsatz ist

f ( x ) - f ( a ) g ( x ) - g ( a ) = f ' ( ξ ) g ' ( ξ ) , a ξ x .

Da f ( a ) = g ( a ) = 0 ist, erhält man

f ( x ) g ( x ) = f ' ( ξ ) g ' ( ξ ) , a ξ x .

Dann folgt

lim x a f ( x ) g ( x ) = lim ξ a f ' ( ξ ) g ' ( ξ ) = lim x a f ' ( x ) g ' ( x ) .
Beispiel
lim x 0 sin ( x ) x = lim x 0 cos ( x ) 1 = 1 1 = 1 .

Falls lim x a f ' ( x ) g ' ( x ) auch unbestimmt ist, erhält man durch wiederholte Verwendung der Regel von L' Hospital

lim x a f ( x ) g ( x ) = lim x a f ' ( x ) g ' ( x ) = lim x a f ' ' ( x ) g ' ' ( x ) = .

Falls lim x a f ( x ) = und lim x a g ( x ) = bleibt die Behauptung der Regel von L' Hospital dieselbe:

lim x f ( x ) g ( x ) = lim x f ' ( x ) g ' ( x ) .
Beispiel
lim x x e x = lim x 1 e x = 1 = 0 .

Unbestimmte Ausdrücke der Form 0 und - lassen sich in solche der Form 0 0 oder umwandeln.

Beispiel

lim x e - x x ist von der Form 0 . Dann ist

lim x e - x x = lim x x e x ,

ein Ausdruck, der von der Form ist. Folglich ist

lim x x e x = lim x 1 e x = 0 .

Unbestimmte Ausdrücke der Form 0 0 , 0 und 1 lassen sich durch die Logarithmusfunktion in solche der Form 0 umwandeln.

Beispiel

lim x 0 x x ist vom Typ 0 0 . Wir betrachten stattdessen den Ausdruck lim x 0 ln ( x x ) :

lim x 0 ln ( x x ) = lim x 0 x ln ( x ) = lim x 0 ln ( x ) 1 x ,

der von der Form ist. Dann ist

lim x 0 ln ( x ) 1 x = lim x 0 1 x - 1 x 2 = - lim x 0 x = 0 .

Folglich ist

lim x 0 x x = lim x 0 e ln ( x x ) = lim x 0 e 0 = 1 .
Abb.1
y = x x
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