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Mittelwertsatz der Differenzialrechnung

Mittelwertsatz der Differenzialrechnung

Theorem
Gegeben sei eine stetige Funktion f ( x ) im Intervall a x b . Gilt f ( a ) = f ( b ) und existiert f ' ( x ) überall im Intervall a < x < b , so gibt es im Inneren des Intervalls mindestens eine Stelle ξ , für die f ' ( ξ ) = 0 gilt.
Abb.1
f ( x ) = x ( 4 - x ) / 2
Abb.2
f ( x ) = 2 - | x - 2 |

Wir vergleichen zwei Funktionen im Intervall [ 0 , 4 ] . In beiden Fällen ist f ( 0 ) = f ( 4 ) = 0 . In Abb. 1 ist f ' ( x ) überall stetig im Intervall [ 0 , 4 ] . Folglich existiert ein Punkt ξ = 2 mit f ' ( ξ ) = 0 . In Abb. 2 ist f ' ( x ) unstetig im Intervall [ 0 , 4 ] an der Stelle x = 2 . Folglich gibt es keinen Punkt x = ξ mit f ' ( ξ ) = 0 .

Theorem
Ist f ( x ) eine in einem Intervall ( a , b ) differenzierbare und für x = a und x = b stetige Funktion, dann gibt es im Inneren des Intervalls mindestens eine Stelle ξ , für die
f ' ( ξ ) = f ( b ) - f ( a ) b - a , a ξ b
gilt.

Geometrisch gesehen hat die Tangente der Funktionskurve an der Stelle ξ die gleiche Steigung wie die Sekante durch a und b .

Der Mittelwertsatz lässt sich auf vielerlei Weise ausdrücken:

f ( b ) = f ( a ) + ( b - a ) f ' ( ξ ) , a ξ b f ( x ) = f ( a ) + ( x - a ) f ' ( ξ ) , a ξ x f ( b ) = f ( a ) + ( b - a ) f ' ( a + θ ( b - a ) ) , 0 θ 1 f ( a + h ) = f ( a ) + h f ' ( a + θ h ) , 0 θ 1 f ( x + Δ x ) = f ( x ) + Δ x f ' ( x + θ Δ x ) , 0 θ 1
Beispiel

Bestimme 63 näherungsweise. Sei f ( x ) = x mit f ( a ) = 62 und f ( b ) = 63 . Dann ist f ' ( x ) = -1 / ( 2 x ) . Laut dem Mittelwertsatz ist

f ( 63 ) = f ( 62 ) + ( 63 - 62 ) - 1 2 ξ , 62 ξ 63 .

Die Zahl ξ ist unbekannt. Nimmt man ξ = 62 , dann ist

63 62 - 1 2 62 = 7,937507936 .

Der exakte Wert liegt bei 63 = 7,937253933 .

Theorem
Sind f ( x ) und g ( x ) in einem Intervall ( a , b ) differenzierbare und für x = a und x = b stetige Funktionen und gilt überall im Intervall g ' ( x ) 0 , dann gibt es im Inneren des Intervalls mindestens eine Stelle ξ , für die
f ( b ) - f ( a ) g ( b ) - g ( a ) = f ' ( ξ ) g ' ( ξ ) , a ξ b
gilt.

Der Mittelwertsatz ist ein Spezialfall des verallgemeinerten Mittelwertsatzes für g ( x ) = x .

Abb.3
Mittelwertsatz
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