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Höhere Ableitungen

Die Leibniz-Regel

Für das n -malige Differenzieren eines Produktes zweier Funktionen gibt es die Leibniz-Regel

Theorem
Für zwei n mal stetig differenzierbare Funktionen f ( x ) und g ( x ) lautet die n -te Ableitung des Produktes f ( x ) g ( x )
( f g ) ( n ) = k = 0 n n k f ( n - k ) g ( k ) .

Das Symbol

n k = n ! k ! ( n - k ) !

ist der Binomialkoeffizient.

Beispiel

Berechne die zweite Ableitung nach x von f ( x ) g ( x ) . Laut der Leibniz-Regel ist

( f g ) ' ' = k = 0 2 2 k f ( 2 - k ) g ( k ) = 2 0 f ' ' g + 2 1 f ' g ' + 2 2 f g ' ' = f ' ' g + 2 f ' g ' + f g ' ' .
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