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Höhere Ableitungen

Existenz höherer Ableitungen

Unregelmäßigkeiten in einer Funktion lassen sich mittels höherer Ableitungen aufdecken. Als Beispiel betrachten wir die scheinbare glatte Funktion

f ( x ) = x 2 , x 0 - x 2 , x 0
Abb.1
Funktion f ( x )

Daraus ersieht man, dass f ( x ) eine stetige Funktion für alle x ist. Bilden wir die erste Ableitung von f ( x ) nach x (für alle Punkte außer x = 0 ), erhalten wir

f ' ( x ) = 2 x , x > 0 -2 x , x < 0

An der Stelle x = 0 bilden wir die rechts- und linksseitige Ableitungen von f ( x )

Rechtseitige Ableitung = lim Δ x 0 + f ( Δ x ) - f ( 0 ) Δ x = lim Δ x 0 + ( Δ x ) 2 Δ x = lim Δ x 0 + Δ x = 0 Linksseitige Ableitung = lim Δ x 0 - f ( Δ x ) - f ( 0 ) Δ x = lim Δ x 0 - - ( Δ x ) 2 Δ x = lim Δ x 0 - - Δ x = 0

Da die rechts- und linksseitige Ableitung an der Stelle x = 0 übereinstimmen, ist f ( x ) auch für x = 0 differenzierbar. Die erste Ableitung von f ( x ) ist also die für alle x stetige Funktion

f ' ( x ) = 2 | x |
Abb.2
Erste Ableitung f ' ( x )

Jedoch existiert die zweite Ableitung von f ( x ) an der Stelle x = 0 nicht, da die Funktion f ' ( x ) = 2 | x | nicht differenzierbar für x = 0 ist, d.h. f ( x ) ist nicht glatt.

Glatte Funktion
Eine Funktion f ( x ) heißt glatt, wenn sie unendlich oft stetig differenzierbar ist.
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