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Höhere Ableitungen

Höhere Ableitungen

Gegeben sei eine Funktion y = f ( x ) . Die Ableitung y ' heißt die erste Ableitung von y , die wiederum eine Funktion von x ist und sich nach x differenzieren lässt. Die Ableitung von der ersten Ableitung heißt die zweite Ableitung, die Ableitung von der zweiten Ableitung heißt die dritte Ableitung, usw. Durch n -maliges Differenzieren einer Funktion gelangt man zur n -ten Ableitung der ursprünglichen Funktion.

Man berechnet die zweite Ableitung, indem man den Differenzialoperator auf die erste Ableitung anwendet

zweite Ableitung = d d x d y d x .

Für die zweite Ableitung gibt man folgende Notation an

d d x d y d x d 2 y d x 2 y ' ' ( x ) .

(gelesen: d 2 y nach d x hoch 2 bzw. y Doppel-Strich von x ).

Auf die gleiche Weise lautet die dritte Ableitung

d d x d 2 y d x 2 d 3 y d x 3 y ' ' ' ( x )

und im Allgemeinen die n -te Ableitung

d n y d x n y ( n ) ( x )

(gelesen: d n y nach d x hoch n bzw. y n Strich von x ). Die 0 -te Ableitung von y ( x ) ist y ( x ) selbst

y ( 0 ) ( x ) = y ( x ) .
Beispiel
y = x 3 y ' = 3 x 2 y ' ' = 6 x y ' ' ' = 6 y ( 4 ) = 0

Alle weitere Ableitungen sind gleich Null.

Hinweis
Die zweite Ableitung nach einem Parameter t (z.B. Zeit) wird üblicherweise durch einen Doppel-Punkt angegeben:
x d x d t , x ⋅⋅ d 2 x d t 2
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