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Anwendung der Kettenregel

Implizite Differenziation

Sei eine Funktion in der impliziten Form g ( x , y ) = 0 gegeben, z.B.

x 2 + y 2 - r 2 = 0 ,

die einen Kreis mit Radius r darstellt. Um die Ableitung y ' = d y d x zu berechnen, gibt es zwei Möglichkeiten:

  • Auflösung der impliziten Form g ( x , y ) nach y und anschließende Differenziation nach x
  • Gliedweise Differenziation der impliziten Form g ( x , y ) nach x und anschließende Auflösung nach v d y v d x . Diese Methode nennt sich implizite Differenziation

Differenzieren wir die Kreisgleichung nach x , so entsteht

d d x x 2 + d d x y 2 = d d x r 2 2 x + 2 y d y d x = 0

Die Differenzierung des zweiten Glieds auf der linken Seite erfolgt durch die Kettenregel

d d x y 2 = d y 2 d y d y d x = 2 y d y d x .

Nun löst man nach d y d x auf,

d y d x = - x y .

Um y aus der Gleichung zu eliminieren, lösen wir die Kreisgleichung nach y auf

y = ± r 2 - x 2

und führen wir die Substitution durch

d y d x = ± x r 2 - x 2 .
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