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Anwendung der Kettenregel

Ableitung der Umkehrfunktion

Gegeben sei eine Funktion y = f ( x ) . Kehren wir die Funktion um, so ergibt sich ihre Umkehrfunktion x = f -1 ( y ) = g ( y ) .

y = f ( x ) = f ( g ( y ) ) = f ( u ) , u = g ( y ) = x .

Nun differenzieren wir nach der Kettenregel

d y d y = d f d u d u d y 1 = d f d x d g d y 1 = f ' ( x ) g ' ( y ) .

Lösen wir nach g ' ( y ) , so erhalten wir das gesuchte Ergebnis

g ' ( y ) = 1 f ' ( x ) ( f ' ( x ) 0 ) .

Beispiel

y = f ( x ) = x 2 x = g ( y ) = ± y .
g ' ( y ) = 1 f ' ( x ) = 1 2 x = ± 1 2 y
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