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Anwendung der Kettenregel

Logarithmische Differenziation

Beim Differenzieren von Produkten von Funktionen y = u ( x ) v ( x ) w ( x ) wird das Vorgehen einfacher, wenn man vorher den natürlichen Logarithmus von beiden Seiten bildet. Durch Logarithmieren auf beiden Seiten wandelt sich die linke Seite des Ausdrucks oben in eine Summe von Gliedern

ln y = ln u ( x ) + ln v ( x ) + ln w ( x ) +

Differenzieren wir nach x , so ergibt sich

1 y d y d x = u ' ( x ) u ( x ) + v ' ( x ) v ( x ) + w ' ( x ) w ( x ) +
Beispiel
y = x 3 e x 2 sin 2 x .

Logarithmieren:

ln y = 3 ln x + x 2 + ln ( sin 2 x ) .

Differenzieren:

1 y d y d x = 3 x + 2 x + 2 cos 2 x sin 2 x d y d x = x 3 e x 2 sin 2 x 3 x + 2 x + 2 cos 2 x sin 2 x = x 2 e x 2 ( 3 + 2 x 2 ) sin 2 x + 2 x cos 2 x

Das Differenzieren von Funktionen vom Typ y = u ( x ) v ( x ) lässt sich durch Logarithmieren durchführen.

Beispiel
y = x 3 x 2 .

Logarithmieren:

ln y = 3 x 2 ln x .

Differenzieren:

1 y d y d x = 3 x 2 1 x + 6 x ln x = 3 x + 6 x ln x d y d x = x 3 x 2 ( 3 x + 6 x ln x )
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