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Anwendung der Kettenregel

Beispiel: Logarithmusfunktionen

Zunächst betrachten wir die natürliche Logarithmusfunktion y = ln x . Um die Differenziation durchzuführen, kehren wir die Funktion um. Dadurch ergibt sich die e-Funktion (Exponentialfunktion)

y = ln x x = e y .

Differenzieren wir beide Seiten nach x , so ergibt sich

d d x x = d d x e y .

Anwendung der Kettenregel auf der rechten Seite ergibt

d d x e y = d e y d y d y d x = e y d y d x .

Nun haben wir

1 = e y d y d x d y d x = 1 e y = 1 x .

Folglich lautet die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion

d d x ln x = 1 x .

Nun betrachten wir den allgemeinen Fall einer Logarithmusfunktion zur Basis a

y = log a x x = a y .

Verwenden wir die Rechenregel zum Basiswechsel, so ergibt sich

y = log a x = log e x log e a = ln x ln a .

Differenzieren wir beide Seiten nach x

d d x log a x = d d x ln x ln a = 1 ln a d d x ln x = 1 ln a 1 x .

Folglich lautet die Ableitung der Logarithmusfunktion zur Basis a

d d x log a x = 1 x ln a .
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