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Anwendung der Kettenregel

Differenziation verketteter Funktionen

Die Methoden zur Differenziation zusammengesetzter Funktionen (Funktionen von Funktionen) werden hier vorgestellt. Beispiele:

e sin x , cos ( 3 x 2 ) , sin ( ln x ) .

Stellen wir diese Beispiele als zusammengesetzte Funktionen dar, so erhalten wir:

y = e sin x y = g ( u ) = e u , u = h ( x ) = sin x y = cos ( 3 x 2 ) y = g ( u ) = cos u , u = h ( x ) = 3 x 2 y = sin ( ln x ) y = g ( u ) = sin u , u = h ( x ) = ln x

Wir haben jede zusammengesetzte Funktion mit Hilfe einer Substitution in zwei Funktionen zerlegt.

y = f ( x ) = g ( u ) = g ( h ( x ) ) .

Die Funktionen g ( u ) bzw. h ( x ) nennt man äußere bzw. innere Funktionen. Aus dem Produkt ihrer Ableitungen ergibt sich die gesuchte Ableitung von y .

Theorem
Die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion y = g ( h ( x ) ) = g ( u ) ist das aus den Ableitungen von äußerer und innerer Funktion gewonnene Produkt.
d y d x = d y d u d u d x
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