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Grundlegende Differenziationsregeln

Beweis der Quotientenregel

Theorem
Ein Quotient zweier Funktionen lässt sich nach der Quotientenregel differenzieren.
f ( x ) = u ( x ) v ( x ) f ' ( x ) = u ' ( x ) v ( x ) - u ( x ) v ' ( x ) v 2 ( x )

Sei y = f ( x ) ein Quotient zweier Funktionen u ( x ) und v ( x )

y = u v .

Ändern wir u um Δ u und v um Δ v , so ändert sich y um Δ y

y + Δ y = u + Δ u v + Δ v
u + Δ u = ( v + Δ v ) ( y + Δ y ) = v y + v Δ y + y Δ v + Δ v Δ y = u + v Δ y + u v Δ v + Δ v Δ y Δ u = v Δ y + u v Δ v + Δ v Δ y v Δ y = Δ u - u v Δ v - Δ v Δ y = v Δ u - u Δ v - v Δ v Δ y v v 2 Δ y = v Δ u - u Δ v - v Δ v Δ y

Nun teilen wir durch Δ x

v 2 Δ y Δ x = v Δ u Δ x - u Δ v Δ x - v Δ v Δ x Δ y

und lassen Δ x 0 , sodass Δ u , Δ v und Δ y 0 und

lim Δ x 0 Δ y Δ x = d y d x , lim Δ x 0 Δ u Δ x = d u d x , lim Δ x 0 Δ v Δ x = d v d x .

Es folgt

v 2 d y d x = v d u d x - u d v d x - v d v d x 0 d y d x = v d u d x - u d v d x v 2 .
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