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Grundlegende Differenziationsregeln

Beweis der Produktregel

Theorem
Ein Produkt von Funktionen lässt sich nach der Produktregel differenzieren.
f ( x ) = u ( x ) v ( x ) f ' ( x ) = u ' ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ' ( x ) .

Sei y = f ( x ) eine Produkt zweier Funktionen u ( x ) und v ( x )

y = u v .

Ändern wir u um Δ u und v um Δ v , so ändert sich y um Δ y

y + Δ y = ( u + Δ u ) ( v + Δ v ) y + Δ y = u v + u Δ v + v Δ u + Δ u Δ v Δ y = u Δ v + v Δ u + Δ u Δ v .

Nun teilen wir durch Δ x

Δ y Δ x = u Δ v Δ x + v Δ u Δ x + Δ u Δ x Δ v

und lassen Δ x 0 , sodass Δ u , Δ v und Δ y 0 und

lim Δ x 0 Δ y Δ x = d y d x , lim Δ x 0 Δ u Δ x = d u d x , lim Δ x 0 Δ v Δ x = d v d x .

Dann erhält man das gesuchte Resultat

d y d x = u d v d x + v d u d x + d u d x 0 = u d v d x + v d u d x .
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