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Differenziation elementarer Funktionen

Beispiel: Exponentialfunktionen

Wir betrachten die Funktion

y = a x a > 1 reelle Konstante .

An der Stelle x = 0 ist y = a 0 = 1 , d.h. die Funktionskurve verläuft durch den Punkt P = ( 0 , 1 ) . Wir setzen die Steigung der Funktionskurve im Punkt ( 0 , 1 ) gleich m . Nehmen wir einen weiteren Punkt Q = ( Δ x , a Δ x ) in der Nachbarschaft von P , so ist die Steigung der durch P und Q verlaufende Sekante gegeben durch

Δ y Δ x = a Δ x - 1 Δ x .

Lassen wir nun Q auf P zuwandern ( Q P ), so strebt Δ x gegen Null ( Δ x 0 ), und die Steigung der Sekante strebt gegen m

m = lim Δ x 0 Δ y Δ x = lim Δ x 0 a Δ x - 1 Δ x .

Wir betrachten jetzt einen beliebigen Punkt P = ( x , y ) und den benachbarten Punkt Q = ( x + Δ x , y + Δ y ) auf der Exponentialfunktionskurve. Die Steigung der durch P und Q verlaufenden Sekante ist gegeben durch

Δ y Δ x = a x + Δ x - a x Δ x = a x a Δ x - 1 Δ x .

Die Tangentensteigung der Exponentialfunktionskurve im Punkt P ist

lim Δ x 0 Δ y Δ x = lim Δ x 0 a x a Δ x - 1 Δ x = lim Δ x 0 a x lim Δ x 0 a Δ x - 1 Δ x = a x m .

Dabei ist im zweiten Schritt eine der Rechenregeln für Grenzwerte (Multiplikation mit einer Konstante) zur Anwendung gekommen.

d y d x = lim Δ x 0 Δ y Δ x = m a x .

Die Ableitung der Exponentialfunktion ist also

d y d x = m a x m ist die Steigung von a x im Punkt ( 0 , 1 ) .

Der Wert von m hängt von der Basis a ab. Berechnen wir numerisch den Grenzwert

m = lim Δ x 0 a Δ x - 1 Δ x

für einige Werte von a , so ergibt sich folgende Tabelle

Tab.1
Steigung m von a x im Punkt ( 0,1 )
a m
1,5 0,405465
2,0 0,693147
2,5 0,916291
3,0 1,098612

Der Tabelle entnimmt man, dass zwischen 2,5 und 3 ein Wert von a liegen muss, bei dem m = 1 ist. Dieser Wert ist eine irrationale Zahl, die man als Euler´sche Zahl e = 2,718281 bezeichnet. Aus ergibt sich

e = lim Δ x 0 1 + Δ x 1 Δ x = lim n 1 + 1 n n .

Die Steigung der Funktion y = e x an der Stelle ( 0 , 1 ) ist 1 . Folglich lautet ihre Ableitung

d d x e x = 1 e x = e x ,

d.h. die e -Funktion und ihre Ableitung sind identisch!

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