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Differenziation elementarer Funktionen

Beispiel: Winkelfunktionen

Wir berechnen die Ableitung der Sinusfunktion y = f ( x ) = sin ( x ) gemäß der Ableitungsdefinition

d y d x = lim Δ x 0 f ( x + Δ x ) - f ( x ) Δ x = lim Δ x 0 sin ( x + Δ x ) - sin ( x ) Δ x .

Der Quotient lässt sich mit Hilfe der folgenden trigonometrischen Formel berechnen:

sin ( a ) - sin ( b ) = 2 cos a + b 2 sin a - b 2 .

Ersetzen wir a gegen x + Δ x und b gegen x , so ergibt sich

d y d x = lim Δ x 0 2 cos 2 x + Δ x 2 sin Δ x 2 Δ x = lim Δ x 0 cos 2 x + Δ x 2 lim Δ x 0 2 sin Δ x 2 Δ x ,

und daraus:

lim Δ x 0 cos 2 x + Δ x 2 = cos ( x ) , lim Δ x 0 2 sin Δ x 2 Δ x = 1 .

Folglich ist die Ableitung der Sinusfunktion

d sin ( x ) d x = cos ( x ) .

Die Ableitung der Kosinusfunktion y = f ( x ) = cos ( x ) lässt sich auf die gleiche Weise berechnen. Nach der Definition erhalten wir

d y d x = lim Δ x 0 f ( x + Δ x ) - f ( x ) Δ x = lim Δ x 0 cos ( x + Δ x ) - cos ( x ) Δ x .

Der Differenzenquotient lässt sich mit Hilfe der folgenden trigonometrischen Formel berechnen:

cos ( a ) - cos ( b ) = - 2 sin a + b 2 sin a - b 2 .

Nach Substitution und Vereinfachung erhält man

d cos ( x ) d x = - sin ( x ) .
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