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Differenziation elementarer Funktionen

Beispiel: Potenzfunktionen

Besonders wichtig ist die Differenziation von Potenzfunktionen f ( x ) = x n , wobei n (Menge der natürlichen Zahlen = { 1 , 2 , } ) ist.

Für n = 1 stellt die Funktion f ( x ) = x eine Gerade mit konstanter Steigung 1 dar. Folglich ist die Ableitung

f ( x ) = x f ' ( x ) = 1

Für n = 2 :

f ( x ) = x 2 f ' ( x ) = 2 x

Für n = 3 :

f ( x ) = x 3 f ' ( x ) = 3 x 2

Explizite Berechnung nach der Ableitungsdefinition:

d y d x = lim Δ x 0 f ( x + Δ x ) - f ( x ) Δ x = lim Δ x 0 ( x + Δ x ) 3 - x 3 Δ x = lim Δ x 0 x 3 + 3 x 2 Δ x + 3 x ( Δ x ) 2 + ( Δ x ) 3 - x 3 Δ x = lim Δ x 0 3 x 2 + 3 x Δ x + ( Δ x ) 2 = 3 x 2

Man erkennt die Struktur der Ableitungsbildung einer Potenzfunktion. Im Allgemeinen gilt:

f ( x ) = x n f ' ( x ) = n x n -1

Überprüfung der Gültigkeit der Formel:

Tab.1
Ableitung der Potenzfunktionen
f ( x ) f ' ( x )
x 1 1 x 1 -1 = 1 x 0 = 1 1 = 1
x 2 2 x 2 -1 = 2 x 1 = 2 x
x 3 3 x 3 -1 = 3 x 2

Sonderfall n = 0 : Setzen wir n = 0 , dann ist f ( x ) = x 0 = c (Konstante). Diese Funktion stellt eine waagerechte Gerade dar, so dass die Steigung der Funktionskurve überall gleich Null ist

f ( x ) = k f ' ( x ) = 0 .

Die Verwendung der Potenzformel liefert

f ' ( x ) = 0 x 0 -1 = 0 x -1 = 0 .

Erweiterung auf reelle Zahlen

Die Potenzregel gilt nicht nur für natürliche, sondern auch für beliebige reelle Zahlen k : Beispiel n = -1 :

f ( x ) = 1 x = x -1 f ' ( x ) = -1 x -1 -1 = - x -2 = - 1 x 2 .

Beispiel n = 1 / 2 :

f ( x ) = x = x 1 / 2 f ' ( x ) = 1 2 x 1 / 2 -1 = 1 2 x -1 / 2 = 1 2 x .

I. Allg. ist

d x k d x = k x k -1 ,

vorausgesetzt, dass k eine Konstante ist. Bitte beachte

d x x d x x x x -1 ,

da der Exponent x keine Konstante ist. Richtig ist

d x x d x = x x ( 1 + ln x ) .
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