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Ableitung einer Funktion einer reellen Variablen

Begriff der Stetigkeit und der Differenzierbarkeit

Stetigkeit ist eine notwendige Voraussetzung dafür, dass eine Funktion an einer bestimmten Stelle eine Ableitung besitzt.

Abb.1
Abb.2

Die in der Abbildung links dargestellte Funktion ist an der Stelle x = 1 nicht definiert und besitzt deshalb gemäß der Ableitungsdefinition an dieser Stelle keine Ableitung. Nicht alle stetigen Funktionen besitzen allerdings eine Ableitung. Die dargestellte Funktion rechts ist zwar stetig an der Stelle x = 1 , doch die dortige Tangentensteigung ist nicht eindeutig. Der Grenzwert

lim Δ x 0 f ( 1 + Δ x ) - f ( 1 ) Δ x

hängt von der Richtung ab, von der aus man sich auf den Punkt x = 1 zubewegt.

Von links: lim Δ x 0 f ( 1 ) - Δ x - f ( 1 ) Δ x = lim Δ x 0 - Δ x Δ x = - 1 Von rechts: lim Δ x 0 f ( 1 ) + Δ x - f ( 1 ) Δ x = lim Δ x 0 Δ x Δ x = 1

Definition der rechts- und linksseitigen Ableitung einer Funktion y = f ( x ) an der Stelle x 0 :

Rechtseitige Ableitung = lim Δ x 0 + f ( x 0 + Δ x ) - f ( x 0 ) Δ x Linksseitige Ableitung = lim Δ x 0 - f ( x 0 + Δ x ) - f ( x 0 ) Δ x

Dies führt zum Begriff der Differenzierbarkeit einer Funktion:

Differenzierbarkeit
Nur wenn an der Stelle x 0 die linksseitige und die rechtsseitige Ableitung übereinstimmen, ist die Funktion y = f ( x ) an der Stelle x 0 differenzierbar.
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