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Ableitung einer Funktion einer reellen Variablen

Ableitung einer Funktion

Abb.1
Steigung der Sekante durch PQ

Sei eine Funktion y = f ( x ) gegeben. Gesucht wird die Steigung der Kurventangente im Punkt P mit den Koordinaten ( x 0 , y 0 ) . Nehmen wir einen weiteren Punkt Q in der Nachbarschaft von P mit den Koordinaten ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) , dann ist die Steigung der durch P und Q verlaufenden Sekante gegeben durch

m s = Δ y Δ x = f ( x 0 + Δ x ) - f ( x 0 ) Δ x .

Lassen wir nun Q auf P zuwandern ( Q P ), so strebt Δ x gegen Null ( Δ x 0 ). Die Steigung der Kurventangente im Punkt P ist dann

m t = lim Q P m s = lim Δ x 0 m s = lim Δ x 0 f ( x 0 + Δ x ) - f ( x 0 ) Δ x .

Dieser Grenzwert, falls er vorhanden ist, heißt die Ableitung der Funktion y = f ( x ) an der Stelle x = x 0 . Sie ist durch eins der folgenden Symbole gekennzeichnet:

y ' ( x 0 ) , f ' ( x 0 ) oder d y d x x = x 0

Die Bestimmung der Ableitung heißt Differenziation oder Differenzieren. Die Ableitung im Punkt P ist gleich tan θ , wobei θ der Winkel ist, den die Kurventangente an der Stelle P mit der x -Achse bildet.

Anmerkungen

Tab.1
Verwendete Notation
Differenzen Δ x , Δ y
Differenzenquotient Δ y Δ x
Differenziale d x , d y
Differenzialquotient d y d x
erste Ableitung von f ( x ) f ' ( x )
Differenzialoperator d d x

Im Ausdruck

d y d x = lim Δ x 0 Δ y Δ x

sind die Größen Δ x und Δ y nicht als Null, sondern als Infinitesimale oder unendlich kleine Größen d x und d y zu interpretieren. Andernfalls ergibt sich der sinnlose Ausdruck 0 / 0 . d y / d x stellt nicht den Quotient zweier unendlich kleiner Größen dar, sondern symbolisiert den Grenzwert. Trotzdem kann man d x und d y unter bestimmten Umständen als Größen behandeln, die man Differenziale nennt. Die Gleichung

d y = f ' ( x ) d x

gibt z.B. die y -Änderung auf der Tangente an der Stelle x an, die der Änderung d x entspricht, wobei d x beliebig groß gewählt werden kann.

Fasst man den Differenzialquotient nicht als Symbol, sondern als einen Differenzialenbruch auf, dann bringt diese Interpretation Vorteile z.B. bei der Bildung von Ableitungen zusammengesetzter Funktionen.

Beispiel

Sei y = f ( u ) und u = g ( x ) . Wie berechnet man d y / d x ? Wir erweitern unsern Bruch um den Faktor d u :

d y d x = d y d u d u d x .

Man bezeichnet dies als die Kettenregel.

Die Richtigkeit dieser Methode kann bewiesen werden, doch im Allgemeinen sollte das Kürzen und Erweitern durch Differenziale mit Vorsicht angewendet werden.

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