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Ableitung einer Funktion einer reellen Variablen

Steigung einer Kurve

In der Abbildung sieht man auf einer Kurve y = f ( x ) zwei Punkte P und Q , die mit einer Gerade verbunden sind. Die Strecke PQ nennt man eine Sehne und sie wurde so verlängert, dass sie die x -Achse schneidet. Die verlängerte Sehne, auch Sekante genannt, bildet einen Winkel θ mit der x -Achse, deren Steigung m s = tan θ ist. Schiebt man den Punkt Q ( x -Koordinate x Q ) dem Punkt P näher, so nähert sich die Sekante nach und nach der Tangente der Kurve am Punkt P . Beim Zusammenfallen von P und Q ist θ = θ t , und m t = tan θ t ergibt die Steigung der Tangente im Punkt P .

Abb.1
Tangentensteigung
Steigung
Die Steigung einer Kurve s im Punkt P ist die Steigung der Kurventangente m t im P .

Die Steigung der Kurve an einem beliebigen Punkt ist die momentane Änderungsrate der Kurve. Ist s groß, so ändert sich die dargestellte Funktion schnell mit Änderungen in den x -Werten

Nun stellt sich die Frage, wie man die Tangentensteigung an einem bestimmten Punkt einer gegebenen Kurve berechnet. Die Steigung m s der durch P und Q verlaufenden Sekante ist gegeben durch

m s = tan θ.

Folglich ist die Steigung der Kurventangente im Punkt P

m t = lim Q P m s  .
Beispiel

Wir betrachten die Funktion y = f ( x ) = x 2 . Sei P ein Punkt mit Koordinaten ( a , a 2 ) und Q ein Punkt mit Koordinaten ( b , b 2 ) , wobei b = a + h ist. Die Steigung der Strecke PQ ist

m s = ( a + h ) 2 - a 2 ( a + h ) - a

Vereinfachen wir diesen Ausdruck, so ergibt sich

m s = a 2 + 2 a h + h 2 - a 2 h = 2 a h + h 2 h = h ( 2 a + h ) h = 2 a + h

Lassen wir nun Q auf P zuwandern ( Q P ), so strebt h gegen Null ( h 0 ). Die Steigung der Kurventangente im Punkt P ist dann

m t = lim Q P m s = lim h 0 m s = lim h 0 2 a + h = 2 a

Damit ist das Tangentenproblem gelöst. Die Steigung der Kurventangente der Funktion y = f ( x ) = x 2 ist für einen beliebigen Punkt x durch 2 x gegeben.

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