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Funktionen im Computer

Spline-Interpolation

Die Verbindung von n +1 Datenpunkten ( x 0 , y 0 ) , ( x 1 , y 1 ) , , ( x n , y n ) durch ein Interpolationspolynom n -ten Grades für n groß liefert keine glatte Kurve. Dieses Problem lässt sich meistens durch Spline-Interpolation beheben. Spline (engl.) bedeutet soviel wie „biegsames Lineal” und das heißt, man wählt eine stückweise definierte Interpolationsfunktion p ( x ) , die in jedem Intervall [ x i , x i +1 ] , i = 0 , 1 , , n -1 durch ein Polynom p i ( x ) festgelegt ist:

p ( x ) = p 0 ( x ) x 0 x x 1 p 1 ( x ) x 1 x x 2 p n -1 ( x ) x n -1 x x n

Ein weiteres Polynom p n ( x ) , das nicht zu p ( x ) gehört, wird hinzugefügt um die Rechnungen zu vereinfachen. Außerdem soll jede p i ( x ) in ihren Intervall zweimal stetig differenzierbar sein, insbesondere verlangt man

p i ( x i ) = p i -1 ( x i ) p ' i ( x i ) = p ' i -1 ( x i ) p ' ' i ( x i ) = p ' ' i -1 ( x i ) i = 1 , 2 , , n ,

d.h. die Funktionswerte und die ersten und zweiten Ableitungen der zusammenstoßenden Polynome an den Stützstellen sollen gleich sein. Dieses gewährleistet einen glatten Kurvenverlauf. In der Regel werden Polynome p i ( x ) dritten Grades verwendet (kubische Spline-Interpolation):

p i ( x ) = a i ( x - x i ) 3 + b i ( x - x i ) 2 + c i ( x - x i ) + d i p ' i ( x ) = 3 a i ( x - x i ) 2 + 2 b i ( x - x i ) + c i p ' ' i ( x ) = 6 a i ( x - x i ) + 2 b i i = 0 , 1 , , n .

Es gilt:

p i ( x i ) = y i = d i i = 0 , 1 , , n .

Im Folgenden benutzen wir die Abkürzung

h i = x i - x i -1 i = 1 , 2 , , n .

Die Forderung in , dass p ' ' ( x ) stetig ist, ergibt

a i -1 = b i - b i -1 3 h i i = 1 , 2 , , n .

Die Forderung in , dass p ( x ) stetig ist, ergibt nach der Substitution von

c i -1 = d i - d i -1 h i - 1 3 h i ( 2 b i -1 + b i ) i = 1 , 2 , , n .

Die Forderung in , dass p ' ( x ) stetig ist, ergibt nach der Substitution von und

c i = d i - d i -1 h i + 1 3 h i ( b i -1 + 2 b i ) i = 1 , 2 , , n .

Aus folgt nach einer Verschiebung der Indices ( i -1 i )

c i = d i +1 - d i h i +1 - 1 3 h i +1 ( 2 b i + b i +1 ) i = 0 , 1 , , n -1 .

Nun kombinieren wir und , um c i zu eliminieren. Man erhält

h i b i -1 + 2 ( h i + h i +1 ) b i + h i +1 b i +1 = 3 d i +1 - d i h i +1 - d i - d i -1 h i i = 1 , 2 , , n -1 .

Aus und sind d i und h i bekannt und somit ist ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit n -1 Gleichungen in den n +1 Unbekannten b i . Folglich müssen zwei weitere Bedingungen festgelegt werden, um eine eindeutige Lösung zu erhalten. In der Regel wird die Krümmung p ' ' ( x ) am Rand ( i = 0 und i = n ) der Funktion p ( x ) gleich null gesetzt. Aus erhält man

p ' ' 0 ( x 0 ) = 2 b 0 und p ' ' n ( x n ) = 2 b n

und so erhalten wir als unsere zwei weitere Bedingungen

b 0 = 0 und b n = 0 .

Sind die Stützstellen äquidistant ( h i = h ), dann wird

b i -1 + 4 b i + b i +1 = 3 h 2 y i +1 - 2 y i + y i -1 i = 1 , 2 , , n -1 mit b 0 = b n = 0 .

Die Formeln für a i und c i folgen aus und

a i = b i +1 - b i 3 h und c i = y i +1 - y i h - h 3 ( 2 b i + b i +1 ) i = 0 , 1 , , n -1 .
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