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Funktionen im Computer

Fehler des Interpolationspolynoms

Der Fehler der Interpolation lässt sich mittels des folgenden Satzes auswerten.

Theorem
Gegeben seien n +1 x -Werte x 0 , x 1 , , x n und s in einem Intervall I der reellen x -Achse und eine Funktion f ( x ) mit n +1 stetigen Ableitungen auf I . Es existiert eine Zahl ξ I , bei der Folgendes gilt
f ( s ) - k = 0 n L k ( s ) f ( x k ) = ( s - x 0 ) ( s - x n ) ( n + 1 ) ! f ( n +1 ) ( ξ ) .

Gleichung gibt den Fehler der Polynom-Approximation p ( x ) der Funktion f ( x ) an. Es sei bemerkt, dass ξ von s abhängt. Für zwei vorliegende Punkte ( x 0 , f ( x 0 ) ) und ( x 1 , f ( x 1 ) ) erhält man den Fehler

e ( x ) = f ( x ) - p ( x ) = ( x - x 0 ) ( x - x 1 ) 2 f ' ' ( ξ )

mit

p ( x ) = ( x - x 0 ) f ( x 1 ) - ( x - x 1 ) f ( x 0 ) x 1 - x 0 .
Beispiel

Für die Logarithmusfunktion f ( x ) = ln  x und zwei vorliegende Punkte ( n = 1 ) ist

f ' ' ( ξ ) = - 1 ξ 2 ,

und somit ist

e ( x ) = ( x - x 0 ) ( x 1 - x ) 2 ξ 2 für x 0 ξ x 1 und x 0 < x < x 1 .

In einer Logarithmentabelle liegen folgende Werte vor

ln  5,847 1,7659 und ln  5,848 1,7661

Eine Annäherung zu ln  5,8473 ist durch lineare Interpolation der Punkte ( x 0 , f ( x 0 ) ) = ( 5,847 , 1,7659 ) und ( x 1 , f ( x 1 ) ) = ( 5,848 , 1,7661 ) ermittelt. Das Interpolationspolynom liefert

ln  5,8473 p ( 5,8473 ) = 1,76596 .

Der exakte Wert liegt bei

ln  5,8473 = 1,765980016 ,

was einen Fehler von 2 10 -5 ergibt. Der Interpolationsfehler liegt laut mit ξ = x 0 jedoch sehr viel kleiner bei

e ( 5,8473 ) 3,07 10 -9 .

Die Diskrepanz lässt sich durch die Rundungsfehler ε = 0,00005 in den tabellierten Werten erklären.

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