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Funktionen im Computer

Polynominterpolation

Liegen diskrete Werte einer Funktion in Tabellenform vor, dann lassen sich näherungsweise beliebige Funktionswerte durch Polynominterpolation der vorliegenden Funktionswerte berechnen. In den Naturwissenschaften möchte man häufig gemessene Daten verbinden, z.B. liegen gemessene Druckwerte p i und Volumenwerte V i eines Gases vor, dann kann man die diskreten Daten näherungsweise durch eine kontinuierliche Funktion p ( V ) verbinden.

Lagrange´sche Interpolationsformel

Seien n +1 Zahlenpaare ( x 0 , y 0 ) , ( x 1 , y 1 ) , , ( x n , y n ) gegeben. Gesucht ist ein Polynom n -ten Grades p ( x ) mit

p ( x i ) = y i für i = 0 , 1 , , n .

Das Interpolationspolynom lautet

p ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n

und die Koeffizienten a 0 , a 1 , , a n sind durch das folgende lineares Gleichungssystem bestimmt:

p ( x 0 ) = y 0 = a 0 + a 1 x 0 + a 2 x 0 2 + + a n x 0 n y 1 = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 1 2 + + a n x 1 n y n = a 0 + a 1 x n + a 2 x n 2 + + a n x n n

Folglich müssen a 0 , a 1 , , a n Linearkombinationen von y 0 , y 1 , , y n sein und wir können als

p ( x ) = k = 0 n L k ( x ) y k

schreiben, wobei L k ( x ) Polynome n -ten Grades sind. Um die Gültigkeit von zu sehen, betrachten wir einen Sonderfall des Interpolationsproblems, bei dem gilt:

y i = 1 y j = 0 für j i und 0 i n .

gilt. Gesucht wird ein Polynom vom Grad n mit den n Nullstellen x j , j i , also

L i ( x ) = c ( x - x 0 ) ( x - x i -1 ) ( x - x i +1 ) ( x - x n ) .

Die Konstante c ist durch die Bedingung y i = L i ( x i ) = 1 festgelegt

c = ( x i - x 0 ) ( x i - x i -1 ) ( x i - x i +1 ) ( x i - x n ) -1 .

Folglich ist

L i ( x ) = j i x - x j x i - x j ,

d.h.

L 0 ( x ) = x - x 1 x 0 - x 1 x - x 2 x 0 - x 2 x - x n x 0 - x n L 1 ( x ) = x - x 0 x 1 - x 0 x - x 2 x 1 - x 2 x - x n x 1 - x n L n ( x ) = x - x 0 x n - x 0 x - x 1 x n - x 1 x - x n -1 x n - x n -1 .

Die Funktion L i ( x ) y i genügt L i ( x i ) y i = y i und L i ( x j ) y i = 0 für j i . Somit ist das allgemeine Interpolationsproblem p ( x i ) = y i für i = 0 , 1 , , n durch die Funktion

p ( x ) = L 0 ( x ) y 0 + L 1 ( x ) y 1 + + L n ( x ) y n

gelöst. Formel heißt Lagrange´sches Interpolationspolynom und ist eindeutig für die vorliegenden Daten .

Für zwei vorliegende Punkte ( x 0 , y 0 ) und ( x 1 , y 1 ) erhält man aus und

p ( x ) = L 0 ( x ) y 0 + L 1 ( x ) y 1

mit

L 0 ( x ) = x - x 1 x 0 - x 1 und L 1 ( x ) = x - x 0 x 1 - x 0 .

Folglich ist

p ( x ) = ( x - x 0 ) y 1 - ( x - x 1 ) y 0 x 1 - x 0 = y 1 - y 0 x 1 - x 0 x + x 1 y 0 - x 0 y 1 x 1 - x 0 ,

die die Funktionsgleichung der Geraden in der Zwei-Punkte-Form ist.

Beispiel

Gegeben seien drei Punkte

( x 0 , y 0 ) , ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) = ( 1 , 0 ) , ( 2 , 1,5 ) , ( 3 , -2 ) .

Das Lagrange´sche Interpolationspolynom (Grad 2 ) für die Punkte ist

p ( x ) = L 0 ( x ) y 0 + L 1 ( x ) y 1 + L 2 ( x ) y 2 ,

wobei

L 0 ( x ) = x - x 1 x 0 - x 1 x - x 2 x 0 - x 2 = x - 2 1 - 2 x - 3 1 - 3 L 1 ( x ) = x - x 0 x 1 - x 0 x - x 2 x 1 - x 2 = x - 1 2 - 1 x - 3 2 - 3 L 2 ( x ) = x - x 0 x 2 - x 0 x - x 1 x 2 - x 1 = x - 1 3 - 1 x - 2 3 - 2 .

Somit ist die Interpolationsfunktion

p ( x ) = 0 ( x - 2 ) ( x - 3 ) 2 + 1,5 ( x - 1 ) ( x - 3 ) -1 - 2 ( x - 1 ) ( x - 2 ) 2 = - 1,5 ( x - 1 ) ( x - 3 ) - ( x - 1 ) ( x - 2 ) = -2,5 x 2 + 9 x - 6,5 .
Abb.1
Lagrange´sches Interpolationspolynom
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