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Quadratische Formen und Kegelschnitte

Diagonalisierung der Kegelschnittgleichung

Die Ortskurve

a x 2 + 2 b x y + c y 2 + f = r T A r + f = 0

lässt sich durch eine Drehung des Koordinatensystems um einen Winkel θ entgegen dem Uhrzeigersinn in die Form

λ 1 x ' 2 + λ 2 y ' 2 + f = 0

umwandeln. Die Drehungsmatrix T θ verbindet die alten Koordinaten ( x , y ) mit den neuen Koordinaten ( x ' , y ' ) :

r = T θ r ' x y = cos θ - sin θ sin θ cos θ x ' y '

Gleichung wird

( T θ r ' ) T A ( T θ r ' ) + f = 0 .

Da

( T θ r ' ) T = r ' T ( T θ ) T = r ' T T - θ ,

erhält man

r ' T T - θ A T θ r ' + f = 0 .

Wir suchen nun den Winkel θ , sodass die Matrix T - θ A T θ diagonal wird.

T - θ A T θ = cos θ sin θ - sin θ cos θ a b b c cos θ - sin θ sin θ cos θ = a cos 2 θ + c sin 2 θ + b sin 2 θ 1 2 ( c - a ) sin 2 θ + b cos 2 θ 1 2 ( c - a ) sin 2 θ + b cos 2 θ a sin 2 θ + c cos 2 θ - b sin 2 θ

wird diagonal, wenn

1 2 ( c - a ) sin 2 θ + b cos 2 θ = 0

oder

tan 2 θ = 2 b a - c .

Unter Verwendung der Identität

tan 2 θ = 2 tan θ 1 - tan 2 θ

erhält man eine quadratische Gleichung für tan θ :

2 b a - c tan 2 θ + 2 tan θ - 2 b a - c = 0

und folglich zwei Lösungen für θ . Beide Lösungen sind wählbar, da sie sich voneinander durch π / 2 unterscheiden, d.h. sie bestimmen, welche Achse x ' bzw. y ' wird.

Somit ist

T - θ A T θ = λ 1 0 0 λ 2 ,

wobei

λ 1 = a cos 2 θ + c sin 2 θ + b sin 2 θ λ 2 = a sin 2 θ + c cos 2 θ - b sin 2 θ .

Die Zahlen λ 1 , λ 2 kennt man auch als die Eigenwerte der Matrix A , d.h. die Nullstellen des charakteristischen Polynoms von A :

det ( A - λ E ) = λ 2 - ( a + c ) λ + ( a c - b 2 ) = 0 .

Ebenso gilt:

( λ - λ 1 ) ( λ - λ 2 ) = λ 2 - ( λ 1 + λ 2 ) λ + λ 1 λ 2 = 0 .

Vergleich von mit ergibt:

λ 1 λ 2 = a c - b 2 λ 1 + λ 2 = a + c ,

d.h. das Produkt der Eigenwerte von A ist gleich der Determinante von A und die Summe gleich der Spur. Aus den Vorzeichen des Produktes und der Summe lassen sich die Vorzeichen von λ 1 und λ 2 bestimmen, z.B. wenn λ 1 λ 2 = a c - b 2 < 0 ist, müssen λ 1 und λ 2 verschiedene Vorzeichen haben und somit ist die Ortskurve eine Hyperbel.

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