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Quadratische Formen und Kegelschnitte

Kegelschnitte

Wir untersuchen Funktionen der Form

Q ( x , y ) = a x 2 + 2 b x y + c y 2 + d x + e y ,

wobei die Koeffizienten a , b , c , d , e reell sind. Eine solche Funktion heißt quadratische Funktion in x und y . Sind d = e = 0 , dann liegt eine quadratische Form vor:

Q ( x , y ) = a x 2 + 2 b x y + c y 2 .

Q lässt sich kompakter in der Matrixschreibweise angeben:

Q ( x , y ) = x y a b b c x y + d e x y = r T A r + b T r ,

wobei A eine reelle symmetrische Matrix ist. Da die konstanten Koeffizienten a , b , c , d , e alle reell sind, so ist Q reell. Außerdem ist bekannt, dass durch eine Wertzuweisung für Q y von x abhängig wird (oder umgekehrt). Setzt man Q ( x , y ) = - f konstant, dann ergibt sich:

a x 2 + 2 b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0.

Die resultierende implizite Funktion stellt eine Klasse von Kurven in der x , y -Ebene dar, die als Kegelschnitte (Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel und Gerade) bekannt sind. Diese Kurven finden Anwendung in der Physik, da die Bahnen von Teilchen in 1 / r 2 -Gravitationsfeldern Kegelschnitte sind, z.B. sind die Bahnen der Himmelskörper genäherte Ellipsen und bei der Rutherford-Streuung laufen die Heliumkerne auf Hyperbelbahnen.

Wieso heißen sie Kegelschnitte? Die Rotation einer Geraden um eine Drehachse erzeugt den so genannten Doppelkegel. Sägen wir ihn eben durch, so entstehen die folgenden Schnittkurven auf dem Kegelmantel, die als Kegelschnitte bezeichnet werden.

Abb.1
Kreis
Abb.2
Ellipse
Abb.3
Hyperbel
Abb.4
Parabel
Abb.5
Punkt
Abb.6
Gekreuztes Geradenpaar
Beweis
Die Gleichung der Fläche eines Doppelkegels lautet
x 2 + y 2 = ε z 2
oder
z = ± x 2 + y 2 ε .
Eine Ebene hat die Gleichung
α x + β y + γ z + δ = 0
Kombiniert man und , um z zu eliminieren, so ergibt sich
x 2 + y 2 = ε ( α x + β y - δ ) 2 γ 2
oder
1 - ε α 2 γ 2 x 2 - 2 ε β α γ 2 x y + 1 - ε β 2 γ 2 y 2 + 2 ε δ α γ 2 x + 2 ε δ β γ 2 y - ε δ 2 γ 2 = 0 ,
die die Form von besitzt.

Sind die Koeffizienten d = e = 0 in

a x 2 + 2 b x y + c y 2 + f = 0 = x y a b b c x y + f ,

dann liegt ein zentraler Kegelschnitt bezüglich des Koordinatensystems vor, d.h. liegt der Punkt ( x , y ) auf der Kurve, dann liegt auch der inverse Punkt ( - x , - y ) auf der Kurve. Das Vorzeichen von a c - b 2 bestimmt die Ortskurve.

Tab.1
Kegelschnitte
Ellipse a c - b 2 > 0
Parabel a c - b 2 = 0
Hyperbel a c - b 2 < 0
Abb.7
Kegelschnitte a x 2 + 2 b x y + c y 2 + f = 0

Da die Matrix A reell und symmetrisch ist, besitzt sie zwei reelle Eigenwerte λ 1 und λ 2 und lässt sich durch eine orthogonale Matrix S diagonalisieren

D = S -1 A S = S T A S ,

wobei

D = λ 1 0 0 λ 2

und die Spaltenvektoren von S die zugehörigen Eigenvektoren sind (siehe Link). Somit existiert ein Koordinatensystem mit in den Eigenrichtungen liegenden Achsen x ' und y ' , in dem der gemischte Term in verschwindet. Mit Hilfe von ist

r T A r = r T S S -1 A S S -1 r = r T S D S -1 r = r ' T D r ' ,

wobei gilt

r = S r ' .

Im x ' y ' -Koordinatensystem ist dann

x ' y ' λ 1 0 0 λ 2 x ' y ' + f = 0 .

oder

λ 1 x ' 2 + λ 2 y ' 2 + f = 0 .

Diese Koordinatentransformation heißt Hauptachsentransformation und entspricht einer Drehung der Koordinatenachsen x und y um einen Winkel θ , d.h. S ist eine Drehungsmatrix T θ .

Tab.2
Kegelschnitte: implizite Darstellung
Implizite DarstellungEigenwerte
Kreis x 2 a 2 + y 2 a 2 = 1 λ 1 = λ 2 = 1 a 2 > 0
Ellipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 λ 1 = 1 a 2 > 0 , λ 2 = 1 b 2 > 0
Hyperbel x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 λ 1 = 1 a 2 > 0 , λ 2 = - 1 b 2 < 0
Parabel y 2 - 4 a x = 0

Parametrische Darstellungen sind mit rationalen oder Kreis- und Hyperbelfunktionen möglich:

Tab.3
Kegelschnitte: parametrische Darstellung
Parametrische Darstellung 1Parametrische Darstellung 2
Kreis x ( t ) = a 1 - t 2 1 + t 2 , y ( t ) = a 2 t 1 + t 2 x ( t ) = a cos t , y ( t ) = a sin t
Ellipse x ( t ) = a 1 - t 2 1 + t 2 , y ( t ) = b 2 t 1 + t 2 x ( t ) = a cos t , y ( t ) = b sin t
Hyperbel x ( t ) = a 1 + t 2 1 - t 2 , y ( t ) = b 2 t 1 - t 2 x ( t ) = ± a cosh t , y ( t ) = b sinh t
Parabel x ( t ) = a t 2 , y ( t ) = 2 a t

Die Hyperbelgleichung lautet in expliziter Form

y = ± b a x 2 - a 2

und für | x | a liefert die Gleichungen der beiden Asymptoten der Hyperbel

y = ± b a x .
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