Systeme von Funktionen mehrerer Variabler

Bei Funktionen einer Variablen $\mathit{y}=\mathit{f}(\mathit{x})$ ist der Begriff der Umkehrfunktion unkompliziert

$$\mathit{y}=\mathit{f}(\mathit{x})\iff \mathit{x}=\mathit{g}(\mathit{y}).$$

Bei Funktionen zweier Variablen ist eine Umkehrung nur sinnvoll, wenn ein System zweier Funktionen von zwei Variablen vorliegt

$$\begin{array}{rcl}\mathit{u}& =& {\phi }_1(\mathit{x},\mathit{y})\\ \mathit{v}& =& {\phi }_2(\mathit{x},\mathit{y})\end{array}\iff \begin{array}{rcl}\mathit{x}& =& {\psi }_1(\mathit{u},\mathit{v})\\ \mathit{y}& =& {\psi }_2(\mathit{u},\mathit{v}).\end{array}$$

Geometrisch gesehen stellt eine Abbildung einer Ebene mit den Koordinaten $\mathit{x},\mathit{y}$ auf eine Ebene mit den Koordinaten $\mathit{u},\mathit{v}$ und umgekehrt dar. Die Frage, unter welchen Bedingungen die Transformation eineindeutig ist, hängt von der Funktionaldeterminante ab.

Theorem

Eine Abbildung

$$\begin{array}{rcl}\mathit{u}& =& {\phi }_1(\mathit{x},\mathit{y})\\ \mathit{v}& =& {\phi }_2(\mathit{x},\mathit{y})\end{array}$$

ist eindeutig umkehrbar in der Umgebung eines Punktes $({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)$, wenn dort ${\phi }_1(\mathit{x},\mathit{y})$ und ${\phi }_2(\mathit{x},\mathit{y})$ stetige Ableitungen besitzen und die Funktionaldeterminante

$${\left. \frac{\partial (\mathit{u},\mathit{v})}{\partial (\mathit{x},\mathit{y})}\right|}_{({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)}\ne 0$$

ist.