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Funktionen mehrerer Variabler

Systeme von Funktionen mehrerer Variabler

Bei Funktionen einer Variablen y = f ( x ) ist der Begriff der Umkehrfunktion unkompliziert

y = f ( x ) x = g ( y ) .

Bei Funktionen zweier Variablen ist eine Umkehrung nur sinnvoll, wenn ein System zweier Funktionen von zwei Variablen vorliegt

u = φ 1 ( x , y ) v = φ 2 ( x , y ) x = ψ 1 ( u , v ) y = ψ 2 ( u , v ) .

Geometrisch gesehen stellt eine Abbildung einer Ebene mit den Koordinaten x , y auf eine Ebene mit den Koordinaten u , v und umgekehrt dar. Die Frage, unter welchen Bedingungen die Transformation eineindeutig ist, hängt von der Funktionaldeterminante ab.

Theorem
Eine Abbildung
u = φ 1 ( x , y ) v = φ 2 ( x , y )
ist eindeutig umkehrbar in der Umgebung eines Punktes ( x 0 , y 0 ) , wenn dort φ 1 ( x , y ) und φ 2 ( x , y ) stetige Ableitungen besitzen und die Funktionaldeterminante
( u , v ) ( x , y ) ( x 0 , y 0 ) 0
ist.
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