Funktionen zweier Variabler

Als Beispiel betrachten wir ein Gas. Es ist eine experimentelle Tatsache, dass das Volumen $\mathit{V}$ des Gases abhängig von der Temperatur $\mathit{T}$ und dem Druck $\mathit{p}$ ist. In die folgende Tabelle sind gemessene Werte für $\mathit{p}$, $\mathit{V}$ und $\mathit{T}$ eingetragen:

Laut der Theorie eines idealen Gases ist der Zusammenhang zwischen $\mathit{p}$, $\mathit{V}$ und $\mathit{T}$ gegeben durch

$$\mathit{V}=\frac{\mathit{n}\mathit{R}\mathit{T}}{\mathit{p}},$$

wobei $\mathit{R}$ die Gaskonstante und $\mathit{n}$ die Stoffmenge ist. Gleichung ist die analytische Darstellung einer Funktion zweier Veränderlicher, wobei $\mathit{V}$ die abhängige Variable und $\mathit{p}$, $\mathit{T}$ die unabhängigen Variablen sind. $\mathit{V}$ ist eine reelle Funktion $\mathit{f}$ zweier reeller Veränderlicher und diese Tatsache lässt sich auf verschiedene Weisen ausdrücken

$$\mathit{f}:\mathit{S}\to \mathit{A}\mathit{p},\mathit{T}\mapsto \mathit{f}(\mathit{p},\mathit{T})\mathit{V}=\mathit{f}(\mathit{p},\mathit{T}).$$

Die Funktion $\mathit{f}$ bildet die Menge $\mathit{S}\subset {ℝ}^2$ (${ℝ}^2=ℝ\times ℝ$) der unabhängigen Variablen $(\mathit{p},\mathit{T})$ auf die Menge $\mathit{A}\subset ℝ$ ab. $\mathit{f}$ bezeichnet die Abbildungsvorschrift. Häufig wird dasselbe Symbol für die Funktionsvorschrift wie die abhängige Variable verwendet, d.h.

$$\mathit{V}=\mathit{V}(\mathit{p},\mathit{T}).$$

Die Gesamtheit von Wertepaaren ($\mathit{p},\mathit{T}$) (Teilmenge von ${ℝ}^2$), für die die Funktion definiert ist, heißt der Definitionsbereich, z.B. alle $\mathit{p}$-Werte aus dem Intervall $[{\mathit{p}}_1,{\mathit{p}}_2]$ und alle $\mathit{T}$-Werte aus dem Intervall $[{\mathit{T}}_1,{\mathit{T}}_2]$, $D=[{\mathit{p}}_1,{\mathit{p}}_2]x[{\mathit{T}}_1,{\mathit{T}}_2]$.